基于阿波羅尼斯圓背景下的高考數學

張麗群

(福建省莆田擢英中學 351100)

一、試題展示

二、設計過程

1.命題意圖

阿氏圓這樣經典的數學文化課題的研究，滲透現代數學思想方法.本題考查對阿氏圓數學文化的理解，也考查曲線與方程，拋物線動點中線段和差求最值問題.此題設計旨在體現(普通高中數學課程標準)修訂中對數學文化的考查.考查推理論證能力、邏輯推理能力、運算求解能力，考查數形結合思想、轉化化歸思想，考查直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養.體現了基礎性、綜合性、應用性、創新性等.

表1 學科核心素養的表現及其級別

2.命題過程

本題的選材主要參考四個部分的內容：

第一部分：新課標《人教版·必修2》在第四章平面解析幾何初步,第4.1節圓與方程介紹了圓的標準方程和一般方程基礎知識后，在第131頁習題4.1B組第3題(2).

第二部分：2013年江蘇卷17題.

原題2 在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

第三部分：2017年普通高等學校招生全國統一考試Ⅰ卷理科數學第10題.

原題3 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D,E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

第四部分：各省市質檢卷.

三、解答分析

1.考點分析

解析幾何，數學文化，隱形圓，線段和、差最值.

2.解法呈現

當D,F,P,Q四點共線時取得最小值.

解法2(1)同解法1;

(2)設(x+3)2+y2=4的圓心為K(-3,0),半徑r=2.

連接KP,PD,PC,r=KP=2,且KC=4，D(-3,1).

四、試題評析

本題的核心知識點是在阿氏圓的背景下運用其性質，與常規的拋物線動點求線段和差最值問題相結合得到的創新題.本題參考原題的出題方式：題型可為填空題，也可分解為解答題，本次設計為填空題，重點考查平面解析幾何相關內容.結合課程標準，圓錐曲線高考題以橢圓、拋物線為模型展開，并結合其他平面幾何知識，以圓，三角形，四邊形為載體進行拓展.因此，保留(1)(2)(3)原題中的模型框架，對其他的條件進行強化、延伸.本試題的后續改編將側重于題根題源的總結，改編的立意主題仍然是考查圓錐曲線的基本定義，保證改編試題不脫離高中數學課程標準.

五、命題拓展

方案1問題延伸(求定比λ).

方案2問題延伸(求另一定點).

方案3問題延伸(求兩個定點).

方案4問題延伸(求定點和定比).

方案5問題延伸(阿氏圓與橢圓雙曲線+三角形面積的結合).

六、命題反思

通過解讀(2017年版高中數學課程標準)，深刻領悟到高考評價體系中對數學考查內容的“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的定位.要結合教材內容對數學文化這一概念認真學習，特別是對教材中滲透的數學文化內容要充分重視，重點研究；結合近年新課標試題中出現的與數學文化有關的試題進行學習，重點關注題源、考法命題形式.