基于蒙特卡洛仿真的MEMS陀螺儀可靠度分析

許高斌, 徐禮建, 余 智, 馬淵明, 陳 興

(1.合肥工業大學 電子科學與應用物理學院,安徽 合肥 230601; 2.安徽省微電子機械系統工程技術研究中心,安徽 合肥 230601)

微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System,MEMS)是一種新興技術,具有廣泛的應用前景[1-3]。MEMS陀螺儀是一種典型的MEMS器件,由于其本身的局限性和工藝加工水平限制,其精度一直較低,這大大限制了其應用范圍。隨著高新技術的發展,對MEMS陀螺儀的質量和可靠性的要求也越來越高,因此開展其可靠性研究,提升穩定性具有十分重要的意義。

目前,對MEMS器件可靠性的研究已有一些成果。文獻[4]通過對某MEMS陀螺儀進行多次重復性高低溫實驗,得出驅動軸的諧振頻率與溫度之間存在嚴格的線性規律,但是未直接給出具體的可靠度值;文獻[5]利用應力-強度干涉模型建立了微梁在外載荷下的黏附可靠度模型；文獻[6]利用應力-強度干涉模型建立了微梁在沖擊作用下的黏附可靠度預測模型,但直接用這些模型計算難度大,計算復雜。

蒙特卡洛法是目前計算結構可靠度的常用方法之一,相比于其他計算可靠度的方法,該方法計算的收斂速度與隨機變量的維數無關,無需將極限狀態函數線性化和隨機變量當量正態化,而且數值模擬的誤差也容易確定,因此常用來計算結構失效概率[7]。

本文以靜電梳齒驅動MEMS陀螺儀為研究對象,建立了頻率匹配失效以及微懸臂梁黏附失效的數學模型,采用蒙特卡洛仿真的方法對相應數學模型進行了仿真分析,并確定了影響可靠度的主要隨機變量,可為MEMS陀螺儀的可靠性設計提供參考。

1 MEMS陀螺儀的工作原理

靜電梳齒驅動MEMS微陀螺儀屬于電容式微慣性傳感器,本文研究的一種典型結構的MEMS陀螺儀如圖1所示[8],帶有梳狀電極的平板框架分別與4個L型外梁和4個L型內梁相連,外梁連接到其固定端(錨點)上,并被支撐在基底上方,內梁連接到質量塊上,使其相對基底懸空。

工作時,當在x方向有靜電力驅動時,若y方向施加一個旋轉角速度,則由于科氏力的作用，質量塊在z方向會上下振動,進而引起質量塊與基底之間的電容變化。

圖1 梳齒驅動電容式MEMS陀螺儀典型結構示意圖

振動式MEMS陀螺儀的結構雖然各不相同,但都可以等效成一個簡化模型,如圖2所示,模型包含驅動模態和檢測模態2個運動模態。圖2中:F為驅動力;Dx、Dz分別為質量塊沿x、z方向的阻尼系數;kx、kz分別為支承構件在x、z方向的剛度系數;Ω為旋轉角速度。

圖2 振動式MEMS陀螺儀的簡化模型

當陀螺儀工作時,質量塊在周期性靜電力作用下沿x驅動方向做簡諧運動,此時若y方向有角速度Ω輸入,則由于哥氏效應,質量塊會在z方向上振動,根據z方向的位移變化大小即可解出y方向上的Ω值,此時MEMS陀螺儀的動力學方程[9]為:

(1)

(2)

其中:Fx=Fdsin(ωt),Fd為驅動方向驅動力的幅值,ω為驅動力的角頻率;mx、mz分別為MEMS陀螺儀在x、z方向運動時的等效質量。當驅動力頻率等于驅動模態頻率時,解上述2個方程可得到質量塊在z方向運動方程的穩態解為:

(3)

(4)

其中:ωx、ωz分別為驅動模態固有頻率、檢測模態固有頻率;φz為相位。

根據MEMS陀螺儀靈敏度的定義[10]可得靈敏度S為:

(5)

2 MEMS陀螺儀失效建模

2.1 頻率匹配失效建模

靈敏度一直是MEMS陀螺儀重要的性能參數之一。由(5)式可知,當ωz接近ωx時,靈敏度增大；當ωx=ωz時,靈敏度達到最大。因此,要獲得較高的靈敏度,就應使ωx和ωz盡可能接近或相等。根據文獻[11]的研究,當驅動模態與檢測模態的頻率相差為10 Hz 時,檢測模態的位移幅值最大,隨著2種模態頻率差增大,檢測模態的位移幅值會逐漸減小,由此可知驅動模態和敏感檢測模態的固有頻率相匹配可提高MEMS陀螺儀的靈敏度。考慮到靜電負剛度以及系統的穩定性與可靠性,MEMS陀螺儀頻率匹配失效的數學模型為:

(6)

其中:G1為頻率匹配失效函數;fx為驅動模態的固有頻率;fz為檢測模態的固有頻率。

當00.1時,頻率匹配不滿足要求,會發生頻率匹配失效;當G1=0時,頻率匹配處于失效的臨界狀態。

對于驅動模態和檢測模態的固有頻率,可以由Rayleigh能量法來確定[12],即

(7)

其中:ki為支撐結構沿著i方向的等效彈性系數;meff為支撐結構在i方向運動時的等效質量。由(7)式可知,各模態的諧振頻率主要取決于傳感器彈性梁在各個方向的彈性系數以及對應的等效質量。

MEMS陀螺儀支撐梁的L型梁結構示意圖如圖3所示。

圖3 L型梁結構示意圖

L型梁在x、z方向的彈性系數計算公式[8]為:

(8)

(9)

其中:E為材料的楊氏模量;ν為材料的泊松比;ho、lbo、lao分別為L型外梁的厚度、長梁長度及短梁長度;wao、wbo分別為L型外梁短梁和長梁的寬度,且wao=wbo=wo,wo為外梁的寬度;hi、lai、lbi分別為L型內梁的厚度、短梁與長梁的長度;wai、wbi分別為L型內梁短梁與長梁的寬度,且wai=wbi=wi,wi為內梁的寬度。

2.2 沖擊作用下黏附失效建模

懸臂梁是MEMS陀螺儀中常見的典型結構,可作為支撐結構起到彈簧的作用,也可作為梳齒結構驅動質量塊。在高g值測量過程中懸臂梁末端會發生較大的位移,可能與基底發生黏附,導致整個器件的失效。微懸臂梁在沖擊加速力作用下的等效變形圖如圖4所示。圖4中:L為懸臂梁的長度;s=L-d,d為懸臂梁與襯底的黏附長度,s為分離長度;H為懸臂梁與襯底間的初始間隙;h為梁的厚度。

圖4 懸臂梁的等效變形圖

高g值加速力可以等效為梁受到均勻分布的載荷q[5],即

q=-whaρ

(10)

其中:a為加速度;ρ為材料的密度;w為梁的寬度。由材料力學知識可知,懸臂梁在q作用下d的計算公式為:

(L-d)2[(L-d)2-4L(L-d)+6L2]=

2EHh2/(aρ)

(11)

由彈性力學知識可以得到梁的彈性應變能U為:

(12)

微懸臂梁在沖擊作用下有可能與基底接觸,接觸時由于表面黏附能會產生吸引作用[5]。根據表面黏附能與U的大小關系,可以得到黏附失效的數學模型為:

G2=U-γswd

(13)

其中:G2為黏附失效函數;γs為單位面積黏附能。當G2>0時,微懸臂梁能承受相應沖擊,不會發生黏附失效;當G2<0時,微懸臂梁不能承受相應沖擊作用,會發生黏附失效;當G2=0時,微懸臂梁處于黏附失效臨界狀態。

3 可靠度仿真

3.1 基于蒙特卡洛仿真的可靠度原理

本文采用蒙特卡洛法對MEMS陀螺儀可靠度進行預計,計算流程如圖5所示。首先根據MEMS陀螺儀的頻率匹配要求和梁在沖擊條件下的黏附情況建立2個失效函數,然后確定失效函數中的隨機變量以及概率分布,根據隨機變量的概率分布生成失效函數值的樣本值,根據失效判據統計MEMS陀螺儀未失效的仿真結果次數,以此來計算可靠度P,計算公式為:

P=n/N

(14)

其中:n為蒙特卡洛仿真中對應的失效函數Gi未失效的次數,i=1,2;N為蒙特卡洛仿真的隨機模擬總次數。

圖5 基于蒙特卡洛仿真的MEMS陀螺儀可靠度計算流程圖

MEMS產品常由于加工工藝的原因,不可避免地會產生誤差,設計的結構往往與設計要求尺寸有所差異,當MEMS產品受高溫、沖擊等環境作用影響時,這種差異不僅會影響器件的性能,也會降低器件的可靠性[13]。為了準確評價MEMS微陀螺儀的可靠度,需要將這些不確定因素考慮在內,計算其在不同環境作用下的可靠度。

MEMS陀螺儀可靠度蒙特卡洛仿真的關鍵內容之一就是確定隨機變量的概率分布類型及其概率分布。根據本文建立的失效函數,分析可得涉及的隨機變量包括MEMS陀螺儀的結構幾何參數、材料參數及黏附能參數。MEMS中的微結構受工藝、環境影響,結構尺寸是隨機的,假設其滿足正態分布。黏附能也是一個隨機分布值[14],假設其滿足正態分布。

3.2 頻率匹配的蒙特卡洛仿真

本文頻率匹配蒙特卡洛仿真涉及的參數ν為常數,其均值為0.27;其余參數的分布類型均為正態分布,其均值與標準差見表1所列。

表1 頻率匹配失效部分隨機變量的均值與標準差

利用(6)式對MEMS陀螺儀進行可靠度分析,參數之間可能具有一定的相關性,目前因為對于參數之間的關系認知不足,所以本文假設參數間彼此相互獨立。利用Matlab仿真軟件,采用蒙特卡洛法進行105次隨機模擬仿真,結果分布統計頻率直方圖如圖6所示。

由圖6可知,模擬仿真落在-0.10～0.10區間的個數即為滿足頻率匹配要求的情況。利用Matlab軟件統計符合要求的次數,根據(14)式,可得在298.15 K下MEMS陀螺儀頻率匹配失效的可靠度為0.878 4。

圖6 MEMS陀螺儀頻率匹配失效仿真分布頻率直方圖

MEMS陀螺儀在實際中經常工作在不同溫度環境下,考慮溫度對MEMS器件可靠性的影響具有重要的意義。硅材料的線性熱膨脹系數[15]為α=2.6×10-6/K,E隨溫度變化的表達式[16]為:

(15)

其中:E(0)為0 K下的楊氏模量,取131.28 GPa;θD為Debye溫度,取647 K。根據(15)式作出E隨溫度變化圖,如圖7所示。

圖7 E隨溫度的變化

考慮溫度對MEMS陀螺儀的影響,經蒙特卡洛仿真統計后可以得到P與溫度之間的關系如圖8所示。從圖8可以看出,溫度對P的影響很小,在不同溫度下P基本保持不變。因為溫度對MEMS陀螺儀的影響呈負相關,溫度升高,驅動模態頻率與檢測模態頻率都會減小,但模態頻率的差值基本保持不變,所以最終得出的P基本保持不變。

圖8 不同溫度下MEMS陀螺儀頻率匹配失效可靠度

3.3 黏附失效的蒙特卡洛仿真

為了與文獻[5]中微懸臂梁的可靠度作比較,仿真中采用的懸臂梁參數與文獻[5]相同。黏附失效隨機變量的分布類型、均值及標準差見表2所列。

利用(13)式對MEMS陀螺儀進行可靠度分析,可得結果分布統計頻率直方圖如圖9所示。

表2 黏附失效隨機變量的分布類型、均值及標準差

圖9 微懸臂梁黏附失效仿真分布頻率直方圖

由圖9可知,模擬仿真落在大于0區間的個數即為滿足未黏附要求的情況,根據(14)式,可得到微懸臂梁在42%濕度下黏附失效的可靠度為0.795 1,該結果與文獻[5]采用應力-強度干涉模型法得出的可靠度0.785 2比較吻合。

懸臂梁的γs受外界環境濕度的影響很大[14],根據相關實驗分析,可以得到γs與濕度之間的關系如圖10所示。從圖10可以看出,隨著濕度增加,γs逐漸增加。

圖10 懸臂梁γs與濕度之間的關系

考慮濕度對微懸臂梁在沖擊作用下黏附失效的影響,通過蒙特卡洛仿真,可以得到可靠度P與濕度之間的關系如圖11所示。

圖11 微懸臂梁黏附失效可靠度與濕度之間的關系

從圖11可以看出,濕度對P的影響呈負相關,濕度越大,P越低,當濕度大于70%時,P基本為0,這與文獻[5]采用應力-強度干涉模型得出的P與濕度之間的關系具有很好的一致性。采用應力-強度干涉模型計算P時計算難度大,而利用蒙特卡洛法計算P時方法簡單,更容易理解。

4 參數敏感性分析

為了確定參數變化對可靠度P的影響,將各隨機變量值分別逐漸由-20%增加到20%,參數的標準差保持不變,分析P的變化情況,頻率匹配失效隨機變量的變化對P的影響如圖12所示。

由圖12可知,對于MEMS陀螺儀的頻率匹配失效,參數變化對P的影響很不同。其中,wo、lbo、hi及lbi對P的影響很大,當它們的值相對初始值變化±15%時,P已基本為0;當wi、ho的值相對初始值變化±20%時,P已不及原先的1/2;而lao、lai變化對P的影響很小,P基本保持不變。因此,在頻率匹配過程中,要特別注意wo、ho、lbo、hi、wi及lbi變化值對整體匹配的影響。

圖12 頻率匹配失效隨機變量的變化對可靠度的影響

對于微懸臂梁的黏附失效,參數的改變對給定沖擊加速度a下微懸臂梁的分離長度s有較大影響,在參數敏感性分析中不可忽略s的變化。微懸臂梁的參數變化對于黏附失效可靠度P的影響如圖13所示。由圖13可知,γs對P的影響呈負相關,l、h對P的影響巨大,而w對P的影響微乎其微。當l值相對初始值變化+5%時,P即為0;h對P的影響卻是正相關的,當h值相對初始值變化+5%時,P即為100。因此,增大h、減小l,降低材料γs,都可提高微懸臂梁黏附失效可靠度。

圖13 黏附失效隨機變量的變化對可靠度的影響

5 結 論

本文根據MEMS陀螺儀的工作原理,從靈敏度的角度提出頻率匹配失效數學模型；針對MEMS陀螺儀中典型結構微懸臂梁,建立了在沖擊作用下的微懸臂梁黏附失效數學模型。采用蒙特卡洛仿真法,利用Matlab軟件分別計算了相應數學模型下的可靠度,頻率匹配失效的可靠度為0.878 4,黏附失效的可靠度為0.795 1,其中溫度對MEMS陀螺儀頻率匹配失效的影響較小,濕度對微懸臂梁黏附失效的影響呈負相關。分別對2個數學模型中的參數值變化與對應可靠度之間的關系進行敏感性分析,結果表明,L型內外梁的寬度、厚度、長梁長度等參數變化對頻率匹配的影響巨大,而增加微懸臂梁的厚度、減小長度,降低材料單位面積的黏附能,都可提高微懸臂梁黏附失效可靠度。本文研究結果對MEMS陀螺儀的研制和工程應用具有一定的參考價值,可為有關的可靠性設計分析提供參考。