內激勵型振蕩衰減流作用下輸流管道動力不穩定分析

張 挺，林震寰，林 通，張 恒

(1.福州大學 土木工程學院，福州 350116; 2.中國電建集團貴陽勘測設計研究院有限公司,貴陽 550081)

輸流管道在工程中有著廣泛運用，當管道內的流速隨時間變化時，將產生脈動流，其中周期性脈動流最為常見。作為一種內激勵的形式，會影響輸流管道的穩定性，從而引起了很多學者和工程界的關注。

Chen[1]首次將脈動流表達式引入輸流管道橫向振動運動方程，采用HSU的方法和Bolotin的方法分別研究其作用下的動力不穩定問題，之后Paidoussis等[2-3]對其作了進一步地研究，證明了一定頻率和振幅的內流脈動使原來不穩定的輸流直管可能變得穩定。Bolotin法常被作為結構物在周期性或瞬態激勵下動力不穩定區域的分析方法，例如：王杰方等[4]采用伽遼金變分法和Bolotin法，研究超空泡運動體的動力不穩定區域和影響參數共振曲線的因素；Arani等[5]基于正弦剪切變形梁理論，采用微分求積法結合Bolotin法，研究得到脈動流作用下的雙壁納米碳管動力不穩定區域。隨著對輸流管道認知和數值方法的不斷深入及發展，Gorman等[6]、Azrar等[7]和Seo等[8]分別采用有限差分法、微分求積法、有限元法對內流作用下輸流管道參數共振特性及動力不穩定區域作了深入研究。Wang等[9-10]采用彈性伯努利-歐拉梁模型，研究了輸流碳納米管的振動和結構失穩分析。稅郎泉等[11]基于經典流固耦合方程，采用二階Galerkin方法求解，研究了軸向周期外激勵對含有脈動流體兩端簡支輸流管道橫向振動穩定性的影響。Panda等[12]采用多尺度法研究了在內共振存在情況時兩端簡支輸流管道的主參數共振和組合共振。張計光等[13]同樣采用直接多尺度法研究了黏彈性輸流管在Winkler地基上的參數共振。以上研究均是針對流速無衰減的周期性脈動流作用下的輸流管道橫向振動而進行的。

輸流管道在工程應用中還可能發生一種極端現象，即當輸水過程中由于斷電停泵或閥門關閉等原因，將出現水錘現象，管內流體流速受流體黏性和管道摩擦阻力等因素影響，將呈現振蕩衰減的特性。對于水錘現象的研究，早期集中于對水錘波的模擬上[14]，隨著研究的深入，學者們主要集中在考慮管道軸向振動與流體間的耦合作用(Fluid-Structure Interaction, FSI)及管壁黏滯作用的影響，在水錘激勵下對管道軸向振動做了大量研究[15-18]。然而，當輸流管道中出現水錘現象時，不僅影響管道軸向振動特性，同時也會對管道的橫向振動特性及穩定性產生顯著影響。就輸流管道橫向振動而言，水錘產生的振蕩衰減流激勵與流速無衰減的脈動流持續周期性激勵不同，前者的瞬態激勵將導致輸流管道的動力不穩定性隨著時間的推移而發生變化，到目前為止還未見相關的研究報道。

為了探明該內激勵型振蕩衰減流對輸流管道穩定性的影響，以期在流速無衰減的周期性脈動流對輸流管道振動特性影響的研究基礎上更進一步，本文引入指數衰減函數模擬水錘發生后管道中的流速變化過程，基于兩端支撐的輸流管道橫向運動微分方程，推導得到動力不穩定區域的表達式，研究在流速振蕩衰減型的瞬態激勵下，兩端支撐輸流管道的不穩定區間，并分析相關特征參數對不穩定區域的影響。

1 運動微分方程及離散化

1.1 輸流管道橫向運動微分方程

如圖1所示，水平放置的單跨輸流管道，管道長度為L，管道軸線為x軸，管道橫向為y軸。忽略重力、軸向拉伸和流體壓力的影響，考慮管道黏彈性，其應力-應變關系滿足Kelvin-Voiget模型，則兩端支撐的輸流管道橫向運動的微分方程[3]可表述為：

圖1 兩端支撐輸流直管模型

(1)

式中:E*為包含管壁材料Kelvin-Voigt阻尼的彈性模量，Pa·s；I為管道橫截面慣性矩，m4；y為管道橫向位移，m；E為管道彈性模量，Pa；M和m分別為單位長度管內流體質量和單位長度管道質量，kg；U為流體流速，m/s；c為流體黏性引起的摩擦因數；g為重力加速度，m/s2。

引入無量綱變量：

ξ=x/L，η=y/L，χ=[EI(M+m)]-1/2cL2，

代入式(1)，整理可得兩端支撐輸流管道無量綱橫向運動微分方程：

(2)

根據前期對水錘激勵下黏彈性輸流管道振動特性的研究成果[18]，本文引入指數衰減項構造隨時間變化的無量綱流速表達式，用于模擬管道發生水錘時管內流速振蕩衰減特性，即：

u(τ)=u0(ε-μsinωτ)e-bωτ

(3)

式中:u0為管內流體的初始流速，μ為流體流速的幅值，ω為流體流速的波動頻率，b為衰減系數，ε為流動系數。

將式(3)代入式(2)，可得：

β1/2u0μωcosωτe-bωτ-β1/2bωu0(ε-

cosωτe-bωτ+β1/2bωu0(ε-μsinωτ)e-bωτ+

(4)

可見，衰減項的引入會使得輸流管道的運動微分方程在對空間和時間的微分項系數上增加衰減系數，這勢必將對輸流管道的動力不穩定區域帶來一定影響，從而可進一步分析流速衰減對輸流管道不穩定區域的影響。

1.2 Galerkin離散

式(4)中包含了空間四階偏導和時間二階偏導項，本文采用二階Galerkin展開式，將輸流管道的橫向位移η(ξ,τ)表述為系統的廣義坐標與管道振型函數的乘積之和，即：

(5)

式中:qr(τ)是離散系統的廣義坐標；φr(ξ)是同時滿足位移邊界條件和力邊界條件的管道無量綱振型函數。

將式(5)代入式(4)中，利用歐拉-伯努利梁的振型正交性，并在區間[0，1]上對ξ積分，可得：

(6)

式中:

M=F+2β1/2u0(ε-μsinωτ)e-bωτB；

K=Λ+[β1/2u0μωcosωτe-bωτ+β1/2bωu0(ε-

e-2bωτ-β1/2u0μωcosωτe-bωτ-β1/2bωu0(ε-

μsinωτ)e-bωτ-γ]C；

針對不同支撐的輸流管道模型，其特征方程特征值λr和振型函數φr(r=1,2)有所不同，從而使矩陣F、B、C、D和Λ有所不同。采用Bolotin方法對方程(6)應用Fourier級數展開[3,19-20]，即可得到內激勵型振蕩衰減流作用下輸流管道動力不穩定區域的數學表達式。

2 不穩定區域的確定

2.1 第一動力不穩定區域

對于第一動力不穩定區域，將系統廣義坐標q展開成如下形式：

(7)

式中:ak和bk為未知矩陣。

將式(7)代入式(6)，經化簡合并同類項后，可得：

(8)

式中:

G1=Θ1ak+Θ2bk；G2=-Θ2ak+Θ1bk；

G3=Θ3ak+Θ4bk；G4=Θ5ak+Θ6bk；

G5=Θ7ak+Θ8bk；G6=Θ9ak+Θ10bk；

G7=κ10Cak；G8=κ10Cbk；

Θ2=-κ1F-κ1κ5B；

Θ3=-κ1κ6B+κ7D-κ7C；

Θ4=-κ9D-κ8C+κ9C；

Θ5=κ1κ6B+κ7D-κ6C；

Θ6=κ9D+κ8C-κ9C；

Θ7=κ9D+κ8C-κ9C；

Θ8=-κ1κ6B+κ7D-κ7C；

Θ9=-κ9D-κ8C+κ9C；

Θ10=κ1κ6B+κ7D-κ7C；

κ5=2εβ1/2u0e-bωτ；κ6=β1/2u0μe-bωτ；

由式(8)可看出第一動力不穩定區域由無數個參數波疊加而成，根據Paidoussis等[3]的研究表明當k=1時，可得到足夠精度的結果，因此本文取k=1，并使同類項系數相等，可得關于a1和b1的齊次代數方程組，即

(9)

式中，

(κ3+κ4-κ5+κ7)C

Q12=-κ1F-κ6B-κ9D+(-κ8-κ9)C

Q21=κ1F+κ6B-κ9D+(-κ8+κ9)C

(κ3+κ4-κ5+κ7)C

式(9)周期解存在條件是齊次方程組的行列式等于零，即

|Q|=0

(10)

式(10)可得到振蕩衰減流激勵下不同支撐條件輸流管道的第一動力不穩定區域。

2.2 第二動力不穩定區域

同理，對于第二動力不穩定區域的求解可將系統廣義坐標q展開成如下形式：

(11)

將式(11)代入式(6)，經化簡合并同類項后，取k=2，可得代數方程組，

(12)

式中：

P11=Λ+κ2D+κ3C+κ4C-κ2C；

P12=-κ9D-κ8C+κ9C；

P13=2κ7B+κ7D-κ7C；

P21=-2κ9D-2κ8C+κ2C；

P23=-κ5B；

P31=κ6D-κ6C；

P32=κ5B+κ10Ca；

同樣，

|P|=0

(13)

時式(12)存在周期解。

由式(13)可得出振蕩衰減流激勵下不同支撐條件輸流管道的第二動力不穩定區域。

3 不穩定區域驗證

前述引入與時間和脈動周期有關的指數函數來描述振蕩衰減流，推導得到了輸流管道在振蕩衰減流激勵下的動力不穩定區域表達式，若不考慮流速衰減，即流動系數ε=1和衰減系數b=0時，則方程退化為流速無衰減脈動流激勵下動力不穩定區域方程。由于目前輸流直管在振蕩衰減流作用下的不穩定區域研究未查閱到相關文獻成果，本節針對兩種不同支撐條件的輸流管道模型，選取兩個經典案例即Chen[1]和Paidoussis[3]所做研究進行對比，用于驗證本文所提出的模型。

3.1 兩端固支管道

對于兩端固支管道，其振型函數為：

φr=chλrξ-cosλrξ-

(14)

計算得到在ω/ω0-μ平面內，兩端固支輸流管道在不同初始流速u0與不同黏滯阻尼系數χ條件下第一動力不穩定區域，如圖2所示(實線為χ=0，虛線為χ=0.2，點劃線為χ=0.5)。可見本文計算結果與Paidoussis等用脈動流作為激勵條件得到的計算結果(實心點)吻合良好。從圖中可以看出，隨著初始流速u0的增加，第一動力不穩定區域向下移動，且不穩定區域顯著增大；同時，隨著黏滯阻尼系數χ的增加，不穩定區域起點向右偏移，且初始流速越小，χ對不穩定區域的影響越大，不穩定區域縮小地更快。

圖2 兩端固支輸流管道第一動力不穩定區域隨平均流速u0和黏滯阻尼χ變化

3.2 兩端簡支管道

對于兩端簡支管道，其振型函數為：

φr=sinλrξ

(15)

式中:r=1,2，兩端簡支梁特征方程的特征值λ1=π，λ2=2π。本算例中各參數取值分別為：α=0，γ=10，β1/2=0.2，u0=6，χ=0，即表示在重力作用下，不考慮內部管壁材料阻尼作用，忽略流體黏性引起摩擦的相對粗管。

計算得到在ω/ω0-μ平面內，兩端簡支輸流管道第一和第二動力不穩定區域，如圖3所示。可見本文計算結果比Chen的結果(點劃線)不穩定區域開口大，而與Paidoussis等[3]得到的計算結果(虛線)吻合良好。其原因是Chen[1]在推導輸流管道運動微分方程時未考慮縱向加速度項和管道橫向運動的影響，這充分表明了水流與管道的縱向加速度和管道的橫向運動對動力不穩定區域的影響是不可忽略的。

圖3 兩端簡支輸流管道參數不穩定區域

4 振蕩衰減流對不穩定區域的影響

當輸流管道中發生水錘現象，其流速會出現雙向衰減流的現象，這種現象反映在本文提出的衰減流表達形式上，與特征參數脈動幅值μ、衰減系數b、流速系數ε和時間τ有關，本節以兩端簡支的輸流管道模型為例，分析輸流管道在振蕩衰減流激勵下動力不穩定區域在空間和時間上的變化特性。為分析方便，其它系統參數分別取α=0，γ=0，β1/2=0.8，表示忽略重力影響下不考慮內部管壁材料阻尼作用的相對細管。

4.1 振蕩衰減流特性

本文所引入振蕩衰減流的流速表達式，在衰減系數b、脈動幅值μ和流速系數ε的取值不同時，其流速的衰減形式有所不同。在給定脈動頻率ω(ω/ω0=1.57)和初始流速u0(u0=0.65)的條件下，可得到管道內流體在不同衰減系數b、脈動幅值μ和流速系數ε的流速時程，如圖4(a)～(c)所示。從圖中可以看出隨著衰減系數b的增加，管內流速衰減至零的速率增加，管內流體恢復至靜止狀態用時縮短(圖4(a))；隨著脈動幅值μ的增加，其流速波峰波谷值隨之增加(圖4(b))；同時，流速系數ε=1.0時，管道內的流速雖然有衰減特性，但并未表現出雙向流的特性，仍處于周期性脈動流范疇，只有當脈動幅值ε<1.0后，管道內的流速逐漸呈現出雙向流的特性(圖4(c))。為了進一步驗證所提出的流速表達式能較好地反映水錘激勵下，輸流管道內水流速度呈現出的衰減雙向流特性，應用文獻[18]所提出的黏彈性輸流管道模型計算得到本文系統參數條件下輸流管道內的流速時程(ε=0.1，μ=1.1，b=0.02)，繪于圖4(d)中，可見本文所提出的流速表達式與水錘發生后輸流管道內的流速時程吻合良好。

(a)μ=1.1，ε=0.1

4.2 衰減系數b對不穩定區域的影響

為了進一步分析管內流速衰減系數b對輸流直管的不穩定區域的影響，當時間τ=0.01時，計算得到兩組初始流速u0在ω/ω0-μ平面內，兩端簡支輸流直管第一和第二動力不穩定區域，如圖5所示。從圖中可看出，隨著脈動幅值μ的增加，不穩定區域范圍增大，管道不穩定性增強；同時，隨著衰減系數b增加，第一動力和第二動力不穩定區域起點會向下偏移，對比圖5(a)和(b)可見，初始流速u0越大，隨著衰減系數b的增加，第一動力不穩定區域起點向下偏移越明顯，且不穩定區域越大。以μ=1.1為例，在初始流速u0=0.65時，當流速不衰減(b=0)情況下，第一動力不穩定區域在1.74～2.23之間，當流速衰減系數b=0.04時，第一動力不穩定區域縮減至1.70～2.15之間，變化并不明顯；而在初始流速u0=1.30時，當流速不衰減(b=0)情況下，第一動力不穩定區域在1.51～2.52之間，當流速衰減系數b增加至0.04時，第一動力不穩定區域縮減至1.26～2.24之間。可見，初始流速對動力不穩定區域的影響比衰減系數對動力不穩定區域的影響更加顯著。

(a)u0=0.65

4.3 時間τ對不穩定區域的影響

在輸流管道發生水錘時，流速是不斷衰減的，當時間到達一定時刻，管內流體將停止流動，因此，輸流管道的不穩定區域也將隨著時間的推移而發生變化。為了分析特征參數時間τ對管道不穩定區域的影響，圖6給出了脈動幅值μ=1.1時，在兩組不同初始流速條件下，不同衰減系數在ω/ω0-τ平面的動力不穩定區域。可見，隨著時間τ的推移，不穩定區域逐漸閉合，且隨著衰減系數b的增加，其不穩定區域的閉合時間逐漸縮短，這表明隨著衰減系數b的增加，流速衰減越快，不穩定區間閉合越快，當管道內流速衰減至0時，水錘過程結束，流體靜止，此時管道不穩定區域消失。對比圖6(a)和(b)可得，隨著初始流速u0的增加，其不穩定區域閉合時間會推遲；從圖中同樣可看出，隨著初始流速u0的增加，不穩定區域增大。

(a)u0=0.65

5 結 論

本文引入指數衰減函數模擬水錘發生后管道中流體速度呈現的振蕩衰減特性，基于兩端支撐的輸流管道橫向運動微分方程，推導得到內激勵型振蕩衰減流作用下動力不穩定區域的表達式。在流速無衰減的脈動流激勵條件下，模擬得到的兩種不同支撐輸流管道不穩定區域與前人數值結果吻合良好；為了進一步驗證，將本文所提出的流速表達式結果與黏彈性輸流管道模型計算得到的流速時程進行對比，結果表明，公式(3)能較好地反映水錘激勵下輸流管道內水流速度呈現出的振蕩衰減特性。在此基礎上，分析了不同流速特征參數，如脈動幅值μ、衰減系數b和初始流速u0，對兩端簡支輸流管道模型的動力不穩定區域的影響。結果表明，隨著脈動幅值μ的增加，不穩定區域范圍擴大，隨著衰減系數b增加，不穩定區域起點向下偏移；隨著時間τ的推移，不穩定區域逐漸閉合，且隨著衰減系數b的增加，其不穩定區域的閉合時間逐漸縮短；初始流速對動力不穩定區域的影響比衰減系數對動力不穩定區域的影響更加顯著。由于輸流直管在內激勵型振蕩衰減流的作用下，其動力不穩定性隨時間的推移而改變，因此研究其橫向振動響應將是下一步的重點。