數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

柯美琴

所謂數(shù)形結(jié)合，指的是把抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語言和具體的位置關(guān)系、數(shù)學(xué)圖形等結(jié)合起來。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題形象化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、借助數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)概念可視化

數(shù)學(xué)概念是抽象、復(fù)雜的，它是人們對數(shù)學(xué)生活的反映形式和數(shù)量關(guān)系的一種表現(xiàn)形式，對很多學(xué)生來說都是不容易理解的。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，把繁雜的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行可視化，讓學(xué)生迅速理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

以人教版五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義》一課為例。學(xué)生對“一個物體或是一個計(jì)量單位可以看作一個整體”這一內(nèi)涵容易理解，也容易理解“這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示”，而對“分?jǐn)?shù)單位”的理解卻有一定的難度。因此，筆者借助課件的動態(tài)演示設(shè)計(jì)了四張圖片（把12粒糖果平均分成兩堆；把12粒糖果平均分成三堆；把12粒糖果平均分成四堆；把12粒糖果平均分成六堆），讓學(xué)生說說每張圖片中的分?jǐn)?shù)單位分別是多少。

教學(xué)中，筆者通過課件把12粒糖果平均分成2份，學(xué)生很容易說出每份是這堆糖果的二分之一。于是，筆者再次借助課件動態(tài)演示，把12粒糖果平均分成3份，學(xué)生也很容易說出每份是這堆糖果的三分之一。接著，筆者繼續(xù)借助課件動態(tài)演示，把12粒糖果平均分成4份，學(xué)生也很容易說出每份是這堆糖果的四分之一。最后，筆者再次借助課件動態(tài)演示，把12粒糖果平均分成6份，學(xué)生就能在之前交流的基礎(chǔ)上很容易說出每份是這堆糖果的六分之一。在此基礎(chǔ)上，筆者適時追問學(xué)生：什么是分?jǐn)?shù)單位？然后師生一起探討交流，從而順勢提煉出這樣的結(jié)論：把單位“1”平均分成若干份取其中一份的數(shù)，這樣的數(shù)就叫分?jǐn)?shù)單位。這樣，借助數(shù)形結(jié)合，突破了教學(xué)的難點(diǎn)——什么是分?jǐn)?shù)單位，從而讓分?jǐn)?shù)的概念建構(gòu)更加完整、更加深刻。

二、借助數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)算理可視化

計(jì)算數(shù)學(xué)的核心是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)算理，而數(shù)學(xué)算理看似簡單，實(shí)則具有一定的抽象性。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)學(xué)算理可視化，讓學(xué)生輕松理解，從而大大提高學(xué)習(xí)效率。

如教學(xué)人教版三年級下冊《長方形、正方形面積的計(jì)算》一課時，筆者設(shè)計(jì)了兩張圖片（一個長6厘米、寬4厘米的長方形；一個長和寬都是5厘米的正方形），然后讓學(xué)生比較這兩個圖形的大小。交流時，學(xué)生答案不一，于是，筆者借助圖片的動態(tài)演示，幫助學(xué)生理解計(jì)算長方形、正方形面積的算理，從而順勢比較出兩個圖形的大小。

教學(xué)中，筆者以長方形為載體，每行先擺出6個1平方厘米的正方形，再連續(xù)擺出4行，這樣就可以求出長方形的面積是6×4等于24平方厘米。這個動態(tài)演示其實(shí)就是從乘法意義的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，學(xué)生理解起來就變得更加容易了，也讓學(xué)生知道長方形的面積可以用“長×寬”，也就是把兩個數(shù)乘起來，讓學(xué)生初步形成長方形面積計(jì)算的模型。接著，筆者以正方形為載體，再次借助動態(tài)演示，每行先擺出5個1平方厘米的正方形，再連續(xù)擺出5行，這樣就可以求出正方形的面積是“5×5等于25平方厘米”。這時，筆者啟發(fā)學(xué)生思考：正方形是長和寬相等的長方形，所以……學(xué)生很快從中得出正方形的面積可以用“邊長×邊長”來計(jì)算，也就是把兩個數(shù)乘起來，讓學(xué)生初步形成正方形面積計(jì)算的模型。在此基礎(chǔ)上，筆者再讓學(xué)生比較兩個圖形的大小，學(xué)生自然而然就能算出正方形的面積比長方形的面積大。

三、借助數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)規(guī)律可視化

數(shù)學(xué)規(guī)律是一種比較抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，它是人們在日常生活中通過細(xì)心觀察和認(rèn)真思考而提煉出來的。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律可視化，讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律的表象，直至真正理解數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)涵，從而讓學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)規(guī)律。

如教學(xué)人教版六年級上冊《圓的認(rèn)識》一課時，“同一圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等”這一規(guī)律怎樣才能讓學(xué)生徹底信服呢？如果只是憑借幾個例子，學(xué)生是很難徹底相信的。為此，筆者設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)：“你能在一個圓中畫出多少條半徑、多少條直徑？它們之間有什么關(guān)系呢？”

在學(xué)生練習(xí)和思考后，筆者讓學(xué)生回答自己從練習(xí)中得到的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的答案五花八門。于是，筆者借助課件出示一個圓，并通過圓心畫出一條半徑；接著通過復(fù)制功能在圓內(nèi)復(fù)制半徑，直到把整個圓全覆蓋住；然后引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，便會發(fā)現(xiàn)圓的半徑有無數(shù)條，而且這些半徑都是相等的。隨后，筆者又出示了另一個圓，運(yùn)用相同的方法在圓中畫出無數(shù)條直徑，再引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，讓他們發(fā)現(xiàn)圓的直徑也有無數(shù)條，而且這些直徑也都是相等的。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就會明白在圓內(nèi)可以畫出無數(shù)條像長度相等的半徑和直徑，這樣，“同一圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等”這一規(guī)律的提煉也就瓜熟蒂落了。

四、借助數(shù)形結(jié)合，讓解題思路可視化

清晰的數(shù)學(xué)解題思路，可以達(dá)到“以一帶十”的教學(xué)目的。然而，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)不足，解題思路有限，很難用簡單的語言將解題思路講清楚。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，把解題思路轉(zhuǎn)化成流程圖，讓學(xué)生清晰地理解解題思路，從而提高解題的準(zhǔn)確率。

如教學(xué)人教版三年級上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識：幾分之幾》一課時，學(xué)生受到生活經(jīng)驗(yàn)的影響，很難理解部分是整體的幾分之幾，也不知如何比較它們的大小。怎么辦呢？筆者利用畫思維導(dǎo)圖的方法，獲得了比較好的效果。

教學(xué)中，筆者利用課件出示一張紙，并把這張紙用虛線平均分成五部分，讓學(xué)生說出每一部分占這張紙的幾分之一，學(xué)生很快說出了答案，即五分之一；接著把其中的兩部分涂上藍(lán)色，再讓學(xué)生說說涂上藍(lán)色部分占這張紙的幾分之幾，當(dāng)學(xué)生說出是五分之二時，筆者讓學(xué)生說說自己的思路，他們便結(jié)合圖示認(rèn)為每一部分都是整張紙的五分之一，而涂藍(lán)色的部分有2份，也就是有2個的五分之一。接著，筆者又把剩下的三部分涂上紅色，讓學(xué)生說說紅色的部分占整張紙的幾分之幾。當(dāng)學(xué)生說出是五分之三時，筆者又讓學(xué)生說說自己的思路，他們同樣結(jié)合圖示認(rèn)為每一部分都是整張紙的五分之一，而涂紅色的部分有2份，也就是有3個的五分之一。最后，筆者讓學(xué)生比較一下涂紅色部色大還是涂藍(lán)色部分大，學(xué)生通過比較后，發(fā)現(xiàn)紅色部分有3份，而藍(lán)色部分只有2份，都認(rèn)為紅色部分比藍(lán)色部分大。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自然就理解了什么是“幾分之幾”，從而實(shí)現(xiàn)了“一例帶一串”的教學(xué)目的。40066ECC-1545-4DF2-A5F2-726CCC87DB7E

五、借助數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)習(xí)過程可視化

學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)不足，再加上數(shù)學(xué)知識比較抽象，很難理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，通過直觀的課件演示，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，把難以用語言表達(dá)的知識用圖形表現(xiàn)出來，從而清晰掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

如教學(xué)人教版四年級上冊《數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化》一課時，教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷合理安排時間的優(yōu)化過程，明白怎樣優(yōu)化時間。因此，筆者讓學(xué)生在小組討論的基礎(chǔ)上，利用課件演示的方法要求學(xué)生畫出燒水沏茶示意圖，從而突破了重點(diǎn)。

首先，筆者利用課件出示燒水沏茶的幾件事：燒水6分鐘、洗茶杯2分鐘、接水1分鐘、洗水壺1分鐘、找茶葉1分鐘、沏茶1分鐘。接著讓學(xué)生小組討論完成燒水沏茶這件事一共需要多長時間，匯報(bào)交流時，有的學(xué)生認(rèn)為需要12分鐘。筆者追問后才得知，這個學(xué)生是把課件上的每件事所需要的時間都加起來了。于是，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：怎樣才能盡快讓客人喝上茶呢？于是，學(xué)生結(jié)合課件深入思考：要燒水，必須先洗水壺、接水，這個過程需要2分鐘。接著，筆者又讓學(xué)生思考：等待水開的時間可以做點(diǎn)什么呢？學(xué)生再次思考后，發(fā)現(xiàn)可以洗茶杯、找茶葉。最后筆者讓學(xué)生用示意圖來表示燒水沏茶這件事，學(xué)生思考后畫出了這樣的示意圖：洗水壺+接水+燒水+沏茶（1+1+6+1），這個過程只需要9分鐘。可以說，通過模擬操作到畫示意圖就是一個思維提升的過程，當(dāng)學(xué)生借助操作經(jīng)驗(yàn)畫出燒水沏茶示意圖后，學(xué)生對合理優(yōu)化時間的方法就可以真正得到領(lǐng)會。

六、借助數(shù)形結(jié)合，讓教學(xué)策略可視化

數(shù)學(xué)策略，往往對學(xué)生來說都是比較難以理解的，它是數(shù)學(xué)思想方法的具體運(yùn)用，也是解決數(shù)學(xué)問題的主要手段。因此，在教學(xué)中，我們可以借助數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體驗(yàn)到使用數(shù)學(xué)策略所帶來的好處，從而更好地掌握難以用言語表達(dá)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略。

如教學(xué)人教版五年級下冊《2、5、3的倍數(shù)的特征》一課時，如果只是簡單地講授，課后仍然還有很多學(xué)生弄不清2、5、3的倍數(shù)的特征是什么。因此，筆者借助課件設(shè)計(jì)了一張1—100的表格圖，讓學(xué)生在不知不覺中理解了2、5、3的倍數(shù)的特征。

首先，筆者讓學(xué)生從表格中圈出是5的倍數(shù)的相關(guān)數(shù)字，并讓學(xué)生說說從中發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生比較找到的數(shù)字后發(fā)現(xiàn)個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。然后，筆者讓學(xué)生從表格中圈出是2的倍數(shù)的相關(guān)數(shù)字，并讓學(xué)生說說從中發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生比較找到的數(shù)字后發(fā)現(xiàn)個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)。接著，筆者讓學(xué)生從表格中圈出是3的倍數(shù)的相關(guān)數(shù)字，并讓學(xué)生說說從中又發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生再次比較找到的數(shù)字后發(fā)現(xiàn)任何一個是3的倍數(shù)的數(shù)字個位上的數(shù)和十位上數(shù)字的和都是3的倍數(shù)。最后，筆者利用課件隨機(jī)出示幾個數(shù)字，讓學(xué)生直接判斷出這些數(shù)是不是2、5、3的倍數(shù)，學(xué)生很快就能根據(jù)它們的倍數(shù)的特征馬上做出判斷。可以說，這樣的教學(xué)策略，既讓學(xué)生了解了2、5、3的倍數(shù)的特征，又讓他們體驗(yàn)到運(yùn)用策略學(xué)習(xí)的優(yōu)勢和價值，從而提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

總之，數(shù)學(xué)可視化通過語言表達(dá)、動手操作、形象表述等，讓抽象的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)道理和數(shù)學(xué)思維顯性化，從而積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力。

【本文系2019年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題《基于核心素養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)“主題情境圖”有效運(yùn)用的策略研究》課題編號：MJYKT2019—225）研究成果之一】40066ECC-1545-4DF2-A5F2-726CCC87DB7E