借助數形結合 促進深度學習

馬徐儀

【摘 ? 要】隨著深度學習理念的施行，越來越多的教師意識到將學生引向數學本質學習的重要性。教師在教學“2、5的倍數的特征”一課時，不應只簡單地推理尾數特征，更要引導學生探索其背后的本質原因。借助數形結合，讓學生充分經歷分類中追溯源頭、變化中尋求不變、遷移中促進內化、比較中升華本質的過程，幫助學生在研究變與不變中，理解其本質，推理其特征，進入深度學習狀態。

【關鍵詞】數形結合;特征本質;深度學習

查閱近幾年“2、5的倍數的特征”一課的研究成果，可以發現越來越多的教師努力把這節看似簡單的課上得不那么簡單，不再只簡單地推理尾數特征，而是引導學生去探索其背后的本質原因。

本課教學一般從探究2或5的倍數特征開始，學生需經歷列舉、猜想、驗證、結論、說理的過程。但在聚焦“為什么只看個位”這一問題時，教師常常會抓住某個學優生的回答，結合小棒或小方塊去解釋特征本質，其他學生則順著學優生、教師的PPT演示努力理解尾數特征。這樣，對特征本質的理解或者被教師的告知所代替，或者被學優生的思考所代替。要處理好這個問題，教師可以充分利用數形結合，在研究倍數的過程中，提煉本質，自然推導特征，促進深度學習。

【教學過程】

（一）分類中追溯源頭

1.數形結合，建立關聯

用除法算式表示方格圖的意義，學生的反饋情況如圖1。

（解析：從橫縱兩個角度分別觀察，①②③④橫行、豎列都可以看成每份數，都可以列出2個除法算式，而⑤⑥只能將豎列看成每份數，列出1個除法算式。學生在看方格圖列除法算式的過程中，將“數”和“形”建立關聯。）

2.分類整理，追溯源頭

師：請把它們分分類。

生：拼成長方形的一類（①②），不能拼成長方形的一類（③④⑤⑥）。

生：有余數的一類（③④⑤⑥），另一類沒有余數（①②）。

生：把可以列出2種算式的歸為一類（①②③④），只能列出1種算式的歸為一類（⑤⑥）。

生：把每列數規定為除數，除數是2的一類（①③④），除數是5的一類（②⑤⑥）。

師：我們可以分別以能否拼成長方形、是否有余數、列出算式的個數、除數是否相同作為標準進行分類。

師：6÷2=3，我們就說6是2的——倍數。

師：要使得一個數是另一個數的倍數，需要滿足什么條件？

生：把一個數平均分，沒有余數。

師：6是怎么分的？

生：把方格2個2個平均分，有這樣的3列，或者把方格平均分成2行，每行有3個。

師：用除法表示平均分方格的過程，沒有余數時，我們就說被除數是除數的倍數。

（解析：研究一個數倍數的特征本質，教師通常會采用教材提供的百數表，讓學生去圈一圈，進而觀察、猜想、驗證2的倍數的特征，再研究特征本質。筆者沒有采用這一做法，而是通過以數解形——用除法算式表示方格圖，在分類比較中溝通圖、式、倍數之間的關系，追溯倍數源頭——平均分。借助方格圖，學生回顧除法蘊含的平均分意義;借助除法算式，學生復習倍數概念。除法將倍數與承載平均分意義的方格圖聯系在了一起。研究一個數的倍數，利用方格圖，采用數形結合的方法進行研究能夠直指知識本源。）

（二）變化中尋求不變

1.以形助數，積累經驗

師：結合圖說一說，為什么10是2、5的倍數？7為什么不是2的倍數？

生：圖②中，10能2個2個分，分成5行;5個5個分，分成2列。圖③中，2個方格為1列，分了3列后還剩下1個。

師：從圖上看，滿足什么條件就能找到一個數的倍數？

生：只要能拼成長方形就可以。因為只要能拼成長方形，總數就是每份數或份數的倍數。

（解析：以形助數，讓學生結合方格圖解釋一個數什么時候是另一個數的倍數，什么時候不是另一個數的倍數，再一次加深了學生對成倍數關系所拼成的圖形是長方形的印象。這一結論為后續探索倍數特征的本質積累了活動經驗。）

2.累加變化，尋求不變

師：圖④中的17，是不是2的倍數？

生：2個1列，分成8列，還剩1個，不是2的倍數。

師：有沒有更快的想法？

生：7到17增加了10，10個方格2個2個分沒有剩余，所以我們根據前面“7不是2的倍數”的結論，可以推測17也不是2的倍數，余數仍然是1。

師：改成27，會怎么樣？

生：也不是2的倍數。因為27和17相比，又多了10，我們知道增加一個10不會產生新的余數。

師：余數還是？

生（全體）：1。

師：如果接著增加下去，變成37、47、57、67……你覺得變到什么時候，它就是2的倍數？

（學生思考中，沒有人舉手）

師（追問）：變成107總行了吧？

生：從27變到107，增加了8個10，不管有多少個10，都能2個2個平均分，余數不變。

師：同學們一起來看一看，是不是這樣的？（PPT演示，如圖2）

師：你有什么發現？

生：十位、百位數位上的數字不管怎么變，除以2的余數不變。

（解析：“2的倍數的特征只要看個位”的結論，教學中一般是從學優生口中得到的，教師再以某個數為例，運用數形結合的方式進行再次解釋。本環節以形助數，學生2個2個平均分方格，在10個10個累加變化中自然感受、理解十位、百位，甚至想象千位上的數字變化，但余數沒有發生變化的原理。）

3.發現特征，解釋本質

師：要使得這些數都變成2的倍數，你們打算怎么做？