談數學公式教學的一般思路

金紅江 蔣翀

摘? ? 要：公式教學在數學教學中占有重要地位，教學中要讓學生經歷公式研究的一般思路：借助內部知識引入研究對象，體現知識學習的連貫性;經歷公式歸納過程，突出公式生成的探究性;緊抓結構特征完成公式辨析，明確公式使用的適用性;精選典型例題落實公式應用，把握教學內容的層次性;梳理內在聯系促進公式遷移，實現知識建構的系統性.

關鍵詞：公式教學;一般思路;平方差公式

數學公式是揭示和反映數學對象本質屬性及屬性間聯系的重要形式，其產生和發展的過程蘊含豐富的數學思想方法，這些數學思想方法有助于數學思維的形成與發展.在數學公式教學中，若僅停留在“公式+注意+例題+練習”的層次，往往將導致公式學習枯燥、公式應用死板、公式理解片面的現象，學生只知其然，不知其所以然，也就更談不上“何由以知其所以然”了.

因此，在公式的研究中，讓學生經歷“引入研究對象—探索歸納公式—公式的辨析—公式的應用—公式的遷移”這一過程，促進學生理解，啟發學生思考，滲透數學思想方法，發展學生的數學核心素養.現以“平方差公式”教學為例，談談公式教學的一般思路.

一、借助內部知識引入研究對象，體現知識學習的連貫性

數學教育心理學的研究表明，數學對象的引入要考慮到數學的整體性和自然性，從學生已有的“數學現實”切入，挖掘知識的生長點，能夠更好地揭示相關數學知識間的內在關聯，有利于學生理解所學知識的內涵，自然地進行認知體系的再構建[1] .任何數學公式都有其產生的背景，通過數學內部知識引入研究對象可以使學生從接觸公式的起始階段就對它的來龍去脈做到心中有數.平方差公式是多項式乘法的特例，在引入研究對象環節，要讓學生探索具有特殊關系項的兩個多項式相乘的一般規律.設計時可利用從一般到特殊的方式，將多項式與多項式乘法中各項逐漸特殊化，讓學生感受到公式的適用條件.

引入1? ?之前學習了多項式與多項式的乘法法則，你能用符號語言來描述這個法則嗎？你還能用文字語言來敘述一下這個法則嗎？

教學說明? ?先用符號語言描述法則，再用文字語言敘述.一方面板書設計考慮，另一方面與下面平方差公式先獲得形式化的符號表示，再組織文字語言的描述的順序一致.

引入2? ?計算：（1）（x+5）（y-2）.? （2）（a+5）（a-2）.? （3）（m+5）（m-5）.

解：（1）（x+5）（y-2）=xy-2x+5y-10.

（2）（a+5）（a-2）=a2-2a+5a-10=a2+3a-10.

（3）（m+5）（m-5）=m2-5m+5m-25=m2-25.

追問1? ?同樣是二項式乘二項式，為什么它們的結果有四項、三項、二項的差別？

追問2? ?觀察（3）（2）（1）中相乘的兩個二項式中的項之間是怎樣變化的？

問題1? ?對于（a+n）（a+m）=a2+（n+m）a+nm. 類似（2）（3），對于（a+n），（a+m）中的“第二項”m，n之間具有怎樣的關系，可以出現哪些特殊的情形？

n=m或n=-m，即（a+n）（a+m）或者（a-m）（a+m）.

我們今天先研究（a-m）（a+m）這類問題，即獲得研究對象.

一方面，通過復習回顧多項式與多項式的乘法法則，以及從運算的角度以具體的計算形式引入，承前啟后，初步體會多項式乘法法則與平方差公式之間的“一般”到“特殊”的關系.另一方面，通過三個問題的思考，揭示運算對象逐步特殊化前后，數學運算過程中的內在規律與聯系，感受特殊化數學研究的價值，并在學生已有的認知結構上，進一步引發其特殊化數學研究的思考，引出研究對象——平方差公式.通過數學內部知識的引入，構建整體化的知識架構，體現數學知識學習的連貫性.

二、經歷公式歸納過程，突出公式生成的探究性

學生在數學學習中所經歷的活動將決定他們怎樣看待數學學習以及他們對數學本質的認識.對于公式的教學，不應只是直接告知，更應該注重公式在課堂教學中的形成.

例如，對于平方差公式的學習，若直接從“（a+b）（a-b）=? ? ?”切入公式教學，會導致學生對其認識不全面，根基不固. 因為“（a+b）（a-b）=a2-b2”是從一組符合公式特征的具體的式子中經過共性抽象獲得的規律，其應用則是對公式中的a，b具體化的過程. 而開門見山直接從推理開始的公式教學，省略這個認知的過程，學生則有可能會搞不清楚（2x-3）（2x+3）這樣“具體的一個”和（a+b）（a-b）這樣“抽象的一類”之間的聯系和區別，人為地制造認知困境.

因此，在教學過程中要以學生為中心，充分發揮學生學習上的積極主動性與思維上的創造性.把課堂的時間交還給學生，在學生自主的探究過程中，通過自身的課堂體驗，對公式進行歸納與概括，思考與驗證，進而幫助學生達到掌握公式結構特征的目的.公式歸納與探究的課堂設計應遵循“以學生為主體，教師為主導”的教學原則，結合學生的最近發展區，由淺入深，循序漸進，使學生能夠超越最近發展區而達到下一階段的發展水平.

計算：（1）（a+1）（a-1）.（2）（x+7）（x-7）.（3）（2x+y）（2x-y）.（4）（m+5）（m-5） .

思考1? ?以上運算的結果在形式上有什么共同的特征？

思考2? ?上述四個運算，分別是哪兩個數或式的平方差？

思考3? ?猜想在一般情形下，（a+b）（a-b）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

教學說明? ?從具體的計算案例出發，學生通過計算、觀察、思考，歸納出上述題組的一般規律： （a+b）（a-b）=a2-b2.讓學生初步感知到平方差公式的結構特征，向學生滲透從“特殊”到“一般”，從“具體”到“抽象”的數學研究方法.經歷這樣的數學活動，可以幫助學生從“類”的視角去處理“個”的問題，最大程度理解公式，發揮公式簡化運算的作用.

問題2? ?請你嘗試用多項式相乘的法則驗證（a+b）（a-b）=a2-b2，你能用文字語言敘述平方差公式嗎？

教學說明? ?將符號語言轉化為文字語言，發展學生的數學語言表達能力，同時從公式的表現形式上加深對公式結構特征的理解.

問題3? ?在中國古代，數學家們是怎么推導平方差公式的嗎？公元3世紀數學家趙爽在注釋《周髀算經》中的“勾股圓方圖”時說：“勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實方其里……股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里.”這段話的實質是用面積割補法來證明平方差公式[2].請推導平方差公式，并嘗試從幾何構造的角度說明平方差公式.

讓學生通過“觀察、猜想、驗證、證明”等環節經歷探究平方差公式的過程，體會研究代數問題的基本方法以及代數公式研究的一般路徑.加深對公式結構特征的理解，突出公式生成的探究性.

三、緊抓結構特征完成公式辨析，明確公式使用的適用性

公式的辨析是一個強化記憶、加深理解的過程，同時也是正確運用公式的先決條件.公式的辨析重在辨析適用條件，可分兩步進行.第一步，對公式的結構和本質進行剖析，讓學生先判斷哪些多項式相乘能用公式;第二步再用反例辨析.這樣可以給學生正面的引導，防止學生在應用時出錯.

問題4? ?以下兩個多項式相乘能用平方差公式進行計算嗎？如果能，指出多項式中哪些數或式相當于公式中的a，b，并將其表示成a2-b2的形式.

如表1通過不斷辨析平方差公式的適用條件，旨在引導學生深入分析平方差公式的結構特征，在變化中尋找不變的本質，進而明確a，b的意義，初步沖擊本節課的難點.問題的設計，蘊含用平方差公式進行計算的主要流程，期間不斷地注意點追問，旨在為下一環節歸納計算步驟和總結解題注意點作鋪墊.在公式的辨析教學過程中，教師要引導學生善于總結公式的結構特征，明確公式的使用條件，防止在公式運用中產生的負遷移，培養學生分析問題的能力與思維的辯證性.

表1[多項式相乘 能否用平方差公式計算 a，b各表示什么 表示成a2-b2 （p+3）（p-3） （2p+3q）（2p-3q） （-2p+3q）（-2p-3q） （3q-2p）（-2p-3q） （3p-2q）（-2p-3q） ]

四、精選典型例題落實公式應用，把握教學內容的層次性

公式的應用是學生再次獲取知識、運用知識的重要環節.它具有引領示范、鞏固新知、揭示方法、思維訓練的功能.公式的應用，貴在選題，題不在多，選擇一些典型的、具有不同層次性的例題.

（一）直接運用平方差公式計算

例1? ?運用平方差公式計算.

（1）（3x+5y）（3x-5y） .

（2）（[12b]+a）（-[12b]+a） .

請你總結一下用平方差公式計算的基本步驟.

（二）新舊知識綜合運用

例2? ?計算：（y+2）（y-2）-（y-1）（y-5） .

（三）遷移運用

例3? ?計算： 59.8×60.2.

師生活動：采用學生先行→案例呈現→正誤辨析→糾錯改錯→反思評價五步流程進行.

在精選例題后配合五步流程，逐步落實公式的應用，滿足不同層次學生的發展需要，能有效歸納程序化算法，幫助學生理解問題的實質，正確判斷并利用平方差公式進行計算，滲透規則意識和算法思想.

五、梳理內在聯系促進公式遷移，實現知識建構的系統性

公式是數學的核心知識，往往具有較強的聯系能力，因此，公式研究強調結構和聯系.習題再練習可以及時培養學生對知識的遷移能力以及檢驗學生知識是否達到高度掌握，有利于促進問題解決過程中知識的正向遷移.

問題5? ?判斷（x+5+y）（x-5+y）能否用平方差公式進行計算？如果能，請說明理由，并將其寫成a2-b2的形式.

追問1? ?通過剛才的練習，我們發現平方差公式的應用，其實是公式中的a，b再特殊化的過程，那么平方差公式中的a，b可以指代什么？

追問2? ?（x+y）2可以用平方差公式計算嗎？為什么？

教學說明? ?①平方差公式在兩數的乘法中的應用，屬于兩個數乘積的簡便計算問題，可以使學生將平方差公式的知識遷移到新的問題情境中，既鞏固新知，又培養學生分析和解決問題的能力. ②平方差公式在三項式與三項式相乘中的應用，在起到上述作用的同時，進一步體會到平方差公式的應用，其實是對公式中的a，b再特殊化的過程，其中a，b可以是任意的整式;（x+y）2的分析，為下一節課的學習作鋪墊.

問題6? ?本堂課我們是如何獲得平方差公式的？

幫助學生梳理知識與知識之間的內在聯系，從整體上進行知識體系的構建，從公式的進一步發展中構建（如圖1）.公式的遷移，一方面可以從公式的應用上進行遷移，使學生進一步明確公式的結構.另一方面，有一些公式的正反兩方面反映了數學的兩個不同的側面，教學過程中可以從正反兩個方面認識和把握公式.正用公式，強化公式基本結構;逆用公式，培養逆向思維;活用公式，培養思維創新性，使抽象的數學公式上升到可變化的數學模型.學生的思維在深度與廣度有所提升，并且點燃后續學習的星星之火.再者，對于公式，可將之放到知識的系統中，完成知識的自我構建.

只有讓學生真正了解公式研究的一般思路，才能使學生理解知識的來龍去脈，真正掌握公式的本質，靈活地運用公式去解決問題，內化成自身的數學涵養，達到更加廣闊的發展.作為教師，要不斷探索新的教學途徑和教學方法，使公式教學達到良好的成效.

參考文獻：

[1]劉建平.論數學公式法則的學習心理及其意義的內化[J].云南師范大學學報，2003（5）：240.

[2]李玲，顧海萍.“平方差公式”：以多種方式融入數學史[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014（11）：45-47.