從認知心理視角看學生解題的“會而不對”現象

仝建 徐麗娟

摘? ? 要：針對學生解題中“會而不對”的現象，教師需加強“數學理解”，創造“教育數學”;學生要細化“運算步驟”，減少“誤傳題意”;學校管理者要科學安排學生的練習時間，著眼于學生的長遠發展.

關鍵詞：認知心理;解題;會而不對;數學理解

“會而不對”現象是指解題者能夠準確敘述解題中的相關知識，知道解題的流程（或步驟），能夠動筆求解，但是卻未能求出正確答案的現象.

現代認知心理學認為，一方面人的認知活動是認知要素相互聯系又相互作用的統一整體，任何一種認知活動都是在與其相關聯的其他認知活動作用下完成的;另一方面，在人的認知過程中，前后關系非常重要，它不僅包括人們接觸到的語言材料的上下文關系，客觀事物的上下、左右、先后等關系，還包括人腦中原有知識之間、原有知識和當前認知對象之間的關系.

我們收集部分案例，從認知心理的視角尋求導致學生“會而不對”現象的原因，并給出一些減少學生解題“會而不對”現象的策略，以期拋磚引玉.

一、從認知心理視角探究“會而不對”現象產生的原因

（一）錯用“錯位相減法”

例1? ?（南京市2021屆高三年級學情9月調研第18題）已知數列{an}是公比為2的等比數列，其前n項和為Sn.

（1）在①S1+S3=2S2+2，②S3=[73]，③a2a3=4a4這三個條件中任選一個，補充到上述題干中.求數列{an}的通項公式，并判斷此時數列{an}是否滿足條件P：任意m，n∈N*，aman均為數列{an}中的項，說明理由;

（2）設數列{bn}滿足bn=n（[an+1an]）n-1，n∈N*，求數列{bn}的前n項和Tn.

注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【典型錯解】我們主要關注第（2）題的錯解，錯誤可以說是五花八門，但主要集中在以下三個方面：一是錯位相減時首項或末項運算符號錯誤;二是項數出錯，形如“1+21+22+…+2n-1”的求和計算項數誤為n-1項;三是算到-Tn或[12]Tn的結果就結束，沒有進一步計算Tn.

【認知心理分析】錯位相減法是求 “差比型”數列的前n項和的最為通用的方法之一.這種方法有多處“彎道”，如兩式相減時，最后一項的符號與前面各項的符號不同，學生在解題時受到前面連續多項的影響， 在認知上容易產生負遷移，常常寫錯最后一項的符號.相減后對等比數列求和時，只有在等差數列的首項和公差相等時，中間的等比數列的項數為n，多數情況下，項數為n -1項.由于學生平時解題時，一般都是求數列的前項n和，而此處可能為n 項，更可能為n -1項，先前的解題經驗，頭腦中原有的認知與當前的認知容易產生沖突，在這里很可能會導致不利的影響，常常會把等比數列的項數標錯;將和化簡整理為A+（Bn+C） qn型（其中A，B，C為常數，q為等比數列的公比）的過程中，其中涉及去括號與添加括號，特別是括號前為負號時，由于需要關注到括號內各項的符號，若學生的注意力分配不夠，也容易導致顧此失彼，去添括號時，其中的某一項的符號未處理，導致錯誤.

我們注意到筆者所在學校的T老師所教班級此題的均分處在前列（年級第二），而總均分為年級第五.我們選取與T老師所教班級均分最接近的S老師所帶班級，進行統計分析.

T老師教學班級數學均分為86.23分，此題的均分為8.49分 ，第二問3.62分 . S老師教學班級學生數學均分為87.52 分，此題的均分為 7.35分，第二問2.91分;近兩個月內的各次考試中，S老師教學班級學生數學均分都高于T老師教學班級，但這道題的均分明顯低于T老師教學班級.

筆者對“第二問滿分人數”與“不同老師”是否有相關性進行數據統計與分析，見表1.

根據兩聯表，我們采用SPSS統計軟件計算統計量K2=4.57>3.841，所以有超過95%的把握認為“學生對于錯位相減法的掌握程度”與“教師對這一問題的教學方式”有關.

（二）誤解題意

例2? ?（2018年高考全國Ⅱ理數第12題改編為填空題）已知F1，F2是橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為[36]的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為

.

【錯解】記F1F2=2c， 因為△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=2c， PF1=[23]c，根據橢圓定義得 PF1+PF2=2a， 所以有2[3]c+2c=2a，得C的離心率為[3]-1.

【評注】午練是當前不少學校的必做項目，利用午休前大約30分鐘左右的時間進行限時練習，可以視為一次微型的考試.在這一次午練中，學生此題的出錯率達[1142]，個別訪談了解到主要的錯誤是審題出錯，誤認為P在橢圓上.學生自行增加題目的已知信息“點P在橢圓上”，且在解題過程中沒有用到“斜率為[36]”的條件，導致上面的錯解.

【認知心理分析】事實上，在此次午練前幾天的一次練習中出現過下面的題目：已知F1，F2是橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在橢圓上，且△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為? ? ? ? ?. 此題與午練中的題目極其相似，學生高錯誤率也就不甚奇怪了，頭腦中的前幾天解題痕跡在這里產生嚴重的干擾作用，導致學生誤解題目信息.此外中午的時間，學生剛剛吃完午飯，常會產生睡意，困倦狀態下的頭腦認知的廣度會下降，容易導致“會而不對”現象.

（三）簡單題高錯誤率

例3? ?（2014年江蘇卷第1題改編，雙周測試題1）已知集合A={ -2，-1，3，4? }，B=

{-1，2，3 }，則A∩B中元素的個數為? ? ? ? .

【錯解】 {-1，3 }.

【評注】這是學生在跑操后做的周測第一道題. 備課組的教研反饋顯示四樓班級的學生的錯誤率20%，二樓班級的錯誤率為15%（四樓為最好層次班級，二樓為最弱層次班級）.簡單的題目，不論是層次高的班級還是層次弱的班級都有讓教師出乎意料的錯誤率， 并且好學生的解答正確率不如弱學生，原因在哪里呢？

【認知心理分析】通過對出錯學生的訪談，我們了解到大多數學生看錯了題目，誤把“A∩B中元素的個數”看成“A∩B”，遺漏了“A∩B”后面的信息，導致錯解為{-1，3 }. 前面幾次的綜合練習中，集合題都是求“A∩B”或“A∪B”，先前的解題認知在此題的解答時產生干擾，導致“會而不對”現象，錯誤率超出教師的預期.此外四樓班級的學生跑操最遲結束，最后回到教室，到達教室后立刻開始周測.而二樓班級的學生跑操最早結束，最早到達教室，休息調整2分鐘之后才開始周測.身體上的疲倦會導致認知的準確性降低.就如開車，疲勞駕駛會導致更高的事故率. 認知的準確性降低勢必容易導致“會而不對”現象.

（四）看錯數

例4? ?（南京市2020屆高三年級第三次模擬考試附加題第1題）已知矩陣A=[1? -1a? ?0]，a∈R.若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P′（0，-2）.（1）求矩陣A;（2）求點Q（0，3）經過矩陣A的2次變換后對應點Q′的坐標.

【錯解及認知心理分析】本題的難度系數為0.88.這也是一道簡單題，但學生仍然有一定出錯的比例，多數是看錯數字，比如第（1）問正確，在第（2）問中把矩陣A中個別數字抄錯，導致解題錯誤.我們通過調取錯解案例，對產生錯解的學生進行個別訪談，了解到學生能夠知道這道題目的解題方法，能夠準確表述矩陣乘以點（或向量）的公式. 但是由于必做卷的兩個小時的投入，頭腦產生疲倦，導致諸如“看錯數”等低級錯誤.

學生解題的“會而不對”現象，產生的原因有很多.我們從認知心理的視角看，主要有三個方面的原因：一是解題過程中的認知干擾，比如，例1中進行錯位相減的最后一項時容易受到前面的“慣性”認知，寫錯符號;二是先前的解題經驗在認知上有時會產生副作用，導致對當前解題產生干擾，比如例2和例3中的“誤解題意”;三是學生當下的解題狀態不佳時也容易導致“會而不對”現象，比如例2午練中“睡意”，例3跑操后身體上的“疲憊”，例4前兩個小時的必做題，尤其是第19、20題消耗了學生的體力和腦力，導致頭腦“疲倦”.

二、從認知心理視角看減少“會而不對”現象的對策

學生產生“會而不對”現象的案例主要為容易題和中檔題.根據學生產生“會而不對”現象的原因，筆者認為可以從以下幾個方面減少學生的“會而不對”現象.

（一）教師需加強“數學理解”，創造“教育數學”

對于高中數學教師而言，教好數學首先就要準確深入地理解數學，否則就無法對學生進行有效的指導，與學生進行解題交流時就會“捉襟見肘”，缺少章法，也缺少底氣. 數學教育要靠數學科學提供材料，對材料進行教學法的加工使之形成教材（教學的材料），這屬于教育數學的任務.把學習數學比作吃核桃，教育數學就要研究怎么改良核桃的品種，讓核桃的殼更薄，更好砸，營養更豐富，體現在數學上就是研究、改造、優化教學內容.

對于差比型的數列問題，根據例1的數據分析，筆者發現S老師和T老師的教學效果存在差異.通過對S老師和T老師的訪談，我們發現，T老師對錯位相減法的理解更加深刻，比如運算結果進行了一般化的研究.T老師對步驟的歸納更加清晰，比如補0對齊，可以有效減少前面n項作差導致的認知干擾. 自然T老師給予學生的指導更為有效. 可以說T老師對“錯位相減法”進行了“教育數學”.

（二）學生要細化“運算步驟”，減少“誤傳題意”

學生解題的“會而不對”現象，主要表現為兩個方面：運算錯誤與誤傳題意.

由于部分學生的短時記憶能力不佳，心算能力較弱，導致計算的錯誤率較高. 有序的書寫，在運算的拐彎處（比如去負括號、等式兩邊同乘以一個非零數等），適當細化運算步驟，多寫幾行草稿，這樣增加一種視覺刺激，認知的準確就會提高，計算的錯誤率就會下降. 比如在例1中錯位相減法求和的最后一步，整理的過程就可以多寫幾步.

準確理解題意是正確解題的前提. 學生在解題時更容易受到先前類似信息的干擾，產生認知錯誤. 因此讀題時更需放慢速度，動筆作適當圈畫，多重感官協調，減少“誤傳題意”. 同時需注意解題過程的監控，包括解題速度的監控，也包括解題結果的監控.? 在平時的數學學習中，適當對問題進行主動變式， 增強對相似問題的辨別力. 在錯題本劃出專門 “會而不對”類問題專區，歸納整理，增強對此類錯誤的長久免疫力.

（三）學校管理者要科學安排學生的練習時間，著眼于學生的長遠發展

疲倦狀態下的頭腦是很難有效吸取知識的，同樣疲倦狀態下的頭腦也很難有效解題.比如學生在午練中“會而不對”現象的比例會高于平時的解題.學校的管理者不應讓學生打疲勞戰，追求解題的數量，犧牲解題的質量. 在新的高考背景下，耗時間打疲勞戰無法贏得良好的高考成績，更無法提升學生的數學核心素養，也不能落實立德樹人的根本任務. 這要求學校管理者要科學規劃學生的練習時間與休息時間，著眼于學生的長遠發展.