讓深度探究真正發生

黃美清

平行四邊形的面積計算是人教版五年級上冊“多邊形“的面積單元第一課時，是學生第次一學習用“等積變形”的轉化策略來探究圖形的面積計算的開端，為后續學習三角形、梯形、圓面積等平面圖形以及立體圖形體積的計算作重要鋪墊。不僅僅是使學生掌握平行四邊形的面積計算方法，更重要的是要引導學生自主探究面積計算公式，體驗轉化的數學的奇妙之處，從而豐富學生活動經驗和發展空間觀念。所以，筆者摒棄以往教學中淺嘗輒止的“被探究”和“偽探究”，對本節課的教學進行了再思考。

一、巧編數學故事，創設生動情境

德國詩人席勒曾說過：我幼時聽到的童話，其中意義之深遠，更甚人生教導的真理。一個好的故事能真正抓住孩童的注意力，一個好的數學故事，不但要讓他覺得好玩，并且引起他的好奇心。在平行四邊形的面積教學設計中，用“阿凡提智斗巴依老爺”的故事作為引入本課的情境。故事大致如下，主角：巴依老爺、阿凡提，配角：木棒、羊。巴依老爺家有一塊土，他想找人翻土，又不想給工錢，于是他心生一計：拿出2根長7米，兩根長5米的木棒，對阿凡提說：阿凡提，如果能在在半個時辰內翻完用這四根木棒首尾相連的一塊地，我送你一只羊。否則，你白給我翻土還要給我一只羊。巴依老爺心想，這塊地35平方米在一個時辰內是絕對翻不完的，哈哈哈……同學們，阿凡提動手把木棒調整了一下，在沒有改變木棒長度的情況下，土地有面積變小了很多，阿凡提三下五除二就把地翻完了，還牽走了羊。巴依依老爺氣得胡子都翹起來了，阿凡提是怎么做到的呢？孩子們，相信通過這節課的學習，你一定會找到答案的。毫無疑問，此刻，學生的學習欲望已經被充分點燃了。

二、巧用認知“沖突”，大膽提出猜想

在教學中，如果形式過于單一，單純講授內容，學生學習效果當然差強人意。巧用認知沖突則可很好地解決這個令人頭疼的問題，經歷了認知沖突，學生會由被動接受知識到主動尋求解決方案。平行四邊形的面積，到底該怎么計算呢？作為核心問題來引領這節課。于是，在探究新知環節，我設計了如下活動：

師：同學們，故事中巴依老爺的長方形面積（長：7米，寬5米）是多少平方米？

師：如果我把長方形拉成一個平行四邊形（教具演示），這個平行四邊形的面積和長方形的面積相等嗎？請同學們在小組交流并說明理由。

在小組充分討論交流后，大部分學生都認為兩者的面積應該是相等的。

師：如果給出平行四邊形的高，你的想法會改變嗎？平形四邊形的面積等于底乘高還是等于底乘鄰邊？

通過學生的猜想，讓學生充分發揮有目的的想象，增加探索的求知欲及解決問題的決心。皮亞杰認為調節是解決認知沖突的一種有效方法。

基于平行四邊形面積屬于對二維空間圖形的度量，其本質就是計算它所包含多少個面積單位。給予學生不同的探究選擇：（一）數格子，在方格紙上數出平行四邊形包含的面積單位個數，一邊數，一邊把你是怎么數的在方格紙上表示，爭取讓人一眼就能看明白。讓學生以舊知識去解決問題，從而引出新知識，激發學生的探索求知欲，培養自主探索的精神。（二）不數格子，你還有其他的辦法算出這個平行四邊形的面積嗎？將平行四邊形轉化成什么圖形？為什么？怎么轉化？通過剪一剪，拼一拼，畫一畫進行操作驗證。再進行以下教學過程：1.小組討論：平行四邊形和拼出的長方形面積相等嗎？底和高有什么關系？怎樣求出平行四邊形的面積？2.小組展示：說說你們組是怎么剪，怎么拼？什么變了，什么沒變？3.得出結論并思考：探索平行四邊形的面積，使用的數學思想方法是什么？通過自主探究、合作交流，展示匯報，讓學生經歷自主探究的過程，讓學生從操作、轉化、推導的過程中發展思維能力，強調了學生對基本的數學活動經驗的經歷、體驗和獲得。“轉化”是今后學習數學的一種非常重要的數學思想，所以，在教學中，把不規則圖形都用“轉化”思想進行統一等等，并建立知識間的聯系，都是在著眼于整體的“模塊”教學方式的具體體現。

三、借助“在線畫板”，直觀體驗規律

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念之一。希爾伯特在《直觀幾何》用三層維度來體現。其中描述到：圖形可以幫助發現、尋找解決問題的思路。而觀察是一種有思維積極參與的感知活動，是智力活動的門戶。學生形成、發展空間觀念主要依靠“視”與“觸”。本節課為了建立幾何直觀，通過希沃在線畫板，描述圖形的運動和變化，在兩個環節巧用在線數字畫板。第一個環節是：平行四邊形是如何轉化成長方形的？幾何畫板中的平行四邊形是隨機的，轉化的方法有多種多樣，讓學生體驗到方法的多樣性，但不管是用哪種方法轉化，都是要沿著平行四邊形的高進行剪拼，才能拼成長方形（或正方形）;第二個環節是：長方形拉成平行四邊形后，它們之間的周長和面積的變化關系。在長方形的長不變（平行四邊形的底不變）的情況下，不斷動態拉成高不斷變短的平行四邊形，可以讓學生清晰直觀地觀察到平行四邊形的高和面積的同增同減的變化的情況，由長方形拉成平行四邊形，周長不變，面積變小的道理，反之則變大。面對在線幾何畫板的直觀演示，這時，“阿凡提智斗巴依老爺”的故事已揭開謎底。學生空間觀念通過幾何畫板把長方形和平行四邊形之間建立起了可逆的“刺激——反應”，學生觀察能力的發展與空間觀念的發展達到同步。陳洪杰老師曾說，如果我們每一節課能更多地關注學生真實的學習體驗，那么少一些機械、重復的作業就成為現實，多一些需要學生知、情、行深度卷入的“探索與實踐”，恰恰也是“雙減”可能的路徑。

本節課利用“在線數字畫板”等信息技術，讓學生順利突破了“變與不變”的辯證關系，以“轉化”為主線，通過猜想、操作、驗證來展開和深度推進平行四邊形面積的探索過程。強調和突出學生對“圖形轉化”的體驗，努力把思想和方法凸顯出來，讓學生深深感受到：一節數學課，就是一次奇妙的探險。

（責任編輯：張曉東）