淺談在數學教學中建模思想的培養及應用

李勇

20世紀以來，數學最大的變化和發展是應用，數學幾乎滲透到了所有學科領域。為了適應數學發展的潮流和未來社會人才培養的需要，美國、德國、日本等發達國家普遍都十分重視數學建模教學。現在全日制九年義務教育的《數學課程標準》（以下簡稱為《標準》）也指出“對于新課程來說，最重要的是使學生真正理解數學。在這個意義下，數學建模和數學應用被證明是非常成功的。在這樣的背景下，相對于大量的計算和推理，相對于數學知識和技能的積累，數學的應用或者說數學建模在學校教育中的作用顯得越來越重要了”。

數學模型這一思想方法幾乎貫穿于整個中小學數學學習過程中，因此，在初中階段滲透數學建模思想方法，增強應用意識，是貫徹新課標的要求，是對學生進行素質教育，提高數學的應用意識和應用數學知識解決實際問題能力的需要。下面結合初中數學教學的實踐，談談培養學生數學建模思想的幾點體會。

一、結合教材，選取貼近學生認知水平和生活實際的問題，培養學生運用數學建模思想方法的意識

在傳統的教學中我們強調的是對數學概念的理解，對數學定理、公式的證明和推導，對各類題型進行一招一式的訓練，而忽視如何從實際問題出發，通過抽象概括建立數學模型，再通過對模型的分析研究，然后返回實際問題中去的認識問題和解決問題的訓練。其結果是被動的接受和機械的模仿，體會不到數學的價值，享受不到數學學習的樂趣，“應用意識和實踐能力的培養也就成了一句空話。”因此，在教學中， 應結合具體的教學內容采用“問題情景-建立模型-解釋、應用與拓展”的過程來進行。把學生置于研究現實的未知的問題情境之中，師生共同討論，分析尋找數量關系或函數關系，將實際問題數學化，使學生在探求解決問題方法的過程中體會到方程、不等式、函數、平面圖形等都是刻畫現實世界的數學模型，領會數學建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和自信心。

（一）樹立方程模型思想。在有關方程知識的教學中， 《標準》要求我們，“能夠根據具體問題中的數量關系，列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型”。因此要鼓勵學生積極參與解決問題的活動，自己去探索、研究、尋求具體問題中的數量關系，進而列出方程，解決問題。

例1.某商場服裝柜銷售 “寶寶”牌童裝，每件進價為60元，售價為100元時，平均每天可售出20件。為了迎接“六·一”兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經市場調查發現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天銷售這種童裝能得到銷售利潤1200元，那么每件童裝應降價多少元？

這是一個貼近學生認知水平和生活實際的問題。降價能促銷，銷量大能增加利潤，學生是認知的。但是要達到目標利潤，應降價多少元？在解決這個問題中，先讓學生認識問題中的數量關系，尋找數量相等關系，而不是頭頭是道地給學生分析等量關系，給學生把問題分類。學生通過問題情景可以找到兩個等量關系：①每件商品銷售利潤 = 每件商品的售價-其進價;②每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量 = 每天商品銷售總利潤。但是，哪個是關鍵的等量關系？也就是要使問題得到解決的數量相等關系。經過學生的討論，找到關鍵的等量關系是：每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量 = 每天商品銷售總利潤，把這個實際問題數學化，進而列出方程，使問題得解。在這里，關鍵的相等關系：

每件商品的銷售利潤×每天商品銷售量= 每天商品銷售總利潤。

實際問題數學化：（設每件童裝應降價x元）

（100-60-x）（20 + 8×? ?）= 1200。（方程模型）

解得x=10或20，即每件童裝應降價10元或20元。

接著向學生提出是降價10元還是降價20元？很快會有各種各樣的意見出來。但是不管怎樣，降價10元還是降價20元都能使平均每天銷售這種童裝能得到銷售利潤1200元。

這樣，在教學中不是把各種應用題的解法當做現成的結論來教，而是通過探索、研究、尋求具體問題中的相等關系，把問題的內在規律用數字、圖表或者公式、符號表示出來，然后經過數學的處理得到定量的結果，以供人們分析、預報、決策或者控制，使學生逐步學會把實際問題歸結為方程模型，感受到方程與實際問題的聯系，提高解決問題的能力。

（二）樹立不等式模型思想。現實世界除了數量的相等關系，還存在大量的不等關系。在解決實際問題中，必須分清問題的等量關系或不等關系，否則解決不了問題。在涉及數量的不等關系的問題中，建立不等式模型能使問題容易得到解決。

例2.某火車站的站臺上有甲種貨物1280噸，乙種貨物990噸，要安排用一列貨車將這批貨物運往廣州。這列貨車可掛A、B兩種不同規格的車廂50節。已知甲種貨物30噸和乙種貨物15噸可裝滿一節A型車廂;甲種貨物20噸和乙種貨物25噸可裝滿一節B型車廂。按此要求安排A、B兩種車廂的節數，有幾種運輸方案？請你設計出來.

在這個問題的教學中，我不急于講出是等量關系或不等關系，先讓學生自己來解。有的學生根據學過的知識，認為這是一個方程問題。于是列出方程：

30x+20（50-x）=1280，或15x+25（50-x）=990，（A種車廂為x節，B種車廂為（50-x）節。）解得=26或28，那么只有兩種運輸方案。

這個答案是對或錯？我提出=27是這個問題的解嗎？經過學生的檢驗，發現上面的解法是漏了一個方案。為什么出現這種情況？我引導學生認真閱讀例題，把“問題情境”翻譯為數學語言，找出問題的目標與條件的關系：安排A、B兩種車廂的節數來裝甲、乙兩種貨物，而甲、乙兩種貨物數量分別為1280噸和990噸，不能多于這兩個數，就可以知道這是不等關系而不是相等關系。因為這里有兩個不等關系：①A、B兩種車廂裝滿甲種貨物不大于1280噸;②A、B兩種車廂裝滿乙種貨物不大于990噸，通過列不等式組求解。設用A型車廂節，B型車廂（50-x）節，得

30x+20（50-x）≤1280

15x+25（50-x）≤990

解得26≤x≤28。因為x為正整數，所以只能取26、27、28，相應（50- ）的值分別為24、23、22，共得3種調運方案：安排A型車廂26節，B型車廂24節;安排A型車廂27節，B型車廂23節;安排A型車廂28節，B型車廂22節。

通過分析問題中已知量和未知量的大小關系，“翻譯”成表示已知數和未知數之間的大小關系的不等式，即得到刻畫實際問題的大小關系的數學模型，使學生樹立不等式模型思想意識，提高他們運用數學模型解決實際問題的興趣。

（三）樹立函數模型思想。函數是初中數學一個重要的學習內容，是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。在教學中培養學生能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系，解決簡單的實際問題。

例3. 某房地產公司要在荒地ABCDE（如圖1）劃出一塊長方形的地面修建一幢商品樓，已知EA=60m，BC=90m，CD=80m，DE=120m。問如何設計才能使商品樓地面面積最大，并求最大面積。

這個實際問題是求商品樓地面面積的最大值。

商品樓地面顯長方形，其地面面積最大值受其邊長大小的影響，而邊長的大小受這塊形狀不規則的荒地的影響。邊長是個變量，因此面積也是一個變量，是邊長的函數。要把這個問題中變量之間的關系找出來，才能解決問題。觀察圖形可看到要使所建商品樓的長方形GHID的面積最大，頂點H應在線段AB上。我讓學生計算：

①長方形GHID的頂點H在點A上的面積：

EA·AI=60×120=7200（m2）;

②長方形GHID的頂點H在點B上的面積：

CD·BC=80×90=7200（m2）。

③長方形GHID的頂點H在線段AB（不含A、B兩點）上的面積。這時長方形GHID的邊長HI和GH都是變量，面積是邊長的函數。把邊長HI和GH用一個變量表示。指導學生畫出圖2，設長方形GHID的邊長HI=x，GH=y，利用相似三角形的性質可以得到：

=? ? ? ? ? ?，得y=80-? ?（x-90）。

則原問題轉化為二次函數模型：

∴S=xy=-? ? ?x2+140x（90≤x≤120）。

將這二次函數關系式配方，得

S=-? ? （x-105）2+7350

所以當x=105時，S的最大值為7350，這時可求得y=70。把求得的面積和①、②計算出的面積比較，得當HI=105m，GH=70m時，商品樓地面面積最大值為7350m2。

通過分析問題中變量之間的關系，得到刻畫實際問題中變化規律的數學模型，使學生提高探索、發現和創新能力。由于數學與其他學科聯系日益密切，涉及到其他學科的知識和生活知識的變量問題，又如何建立適當的數學模型來解決？

例4.某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地。為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構筑成一條臨時通道，已知人和木板對濕地地面的壓力合計600N。根據經驗，人和木板對濕地地面的壓強不超過6000Pa可以順利通過，問鋪墊的木板面積至少要多大？

在這個實際問題上，沒有明顯的數量關系和變化規律，學生感到束手無策。引導學生從“壓力”“壓強”等文字聯想到物理公式：壓強=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。當壓力一定時，壓強與受力面積成反比例。這時學生認識到人和木板對濕地地面的壓強與鋪墊的木板面積是反比例函數關系，可建立反比例函數模型：p=? ? ? （S>0）。由p≤6000Pa，解得S≥0.1m2，即鋪墊的木板面積至少是0.1m2 。

根據物理知識建立的反比例函數（下轉第39版）（上接第38版）模型，探索了數學建模跨學科的綜合應用，拓寬了學生的視野，豐富了學生對數學的認識，使學生更好地領會數學建模思想。

（四）樹立平面圖形模型思想。平面圖形是刻畫現實生活的直觀的、形象化的數學模型。從現實生活空間中抽象出平面圖形模型，探索圖形的性質，能解決一些實際問題，更好地認識現實世界，利用圖形的直觀性，使問題簡捷易解。

例5.如圖所示，一只螞蟻在一個母線長為12cm，底面半徑為4cm的圓錐形紙筒的底邊A點出發，沿側面爬行一周又回到A點。問這只螞蟻沿哪條路徑爬行最近？你能幫它找出來嗎？

并計算螞蟻爬行的最短路程。

這是一個日常生活的問題，學生認識到螞蟻爬行的最短路徑是直的，是一條線段，但是圓錐的側面是曲面，只有在平面上才能得到一條直的路徑。引導學生從這個實際問題中抽象出一個平面圖形，如圖所示。這是圓錐體的側面展開圖，是一個扇形。這樣，螞蟻爬行的最短路徑清晰明了，線段AC的長便是螞蟻爬行的最短路程。在ΔSAC中，SA=SC，過點S作SD⊥AC于D，則SD平分∠ASC，且平分線段AC。由? ? ? ? ? ?=2π·4，得n=120，

即∠ASC=120°，∠ASD=60°，

AC=2AD=2SA·sin60°=12? 3 cm。所以螞蟻爬行的最短路程為12? 3 cm。

二、學習從情境中辨認模型，提出模型，讓學生體會到數學建模的思想

數學模型來自于實際問題的情景，有的實際問題的數量關系和變化規律有一定的隱蔽性。對于某些實際問題中變量之間的關系，引導學生結合對函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測，確定該問題是屬于哪種函數模型，使問題得到解決。

例6.某商場在國慶節其間搞促銷活動，一次性購買T恤的數量與售價關系如下表：

T恤的數量（件） 1 2 3 4 5 6 7

售價（元） 30 58 88 116 145 174 200

問：根據上表的購買T恤的數量與售價關系，若一次性購買10件需要多少元錢？

這是一個商品售價隨著銷售量變化而變化的問題，用函數關系來解決。但在這個實際問題中，沒有明顯的屬于哪種函數關系，怎樣辯認？統計表所給的數據看不出一次性購買T恤的數量與售價關系的規律，但是可以通過函數的圖象來觀察。

于是讓學生由“件數”和“售價”的“數對”，建立直角坐標系，描出各點位置，觀察連線接近的函數圖象，“由數到形”，再“由形到數“，用幾個點的坐標找出與之相近的模擬函數。

設購買T恤的數量為x件，相應的售價為y元，根據上表作出圖象。

學生觀察上面圖象，看到表示幾個數據的七個點近似地在一條直線上，接近一次函數的圖象，可用一次函數關系式來解決。于是設函數關系式為：y=kx+b，把（1，30），（5，145）兩點坐標代入關系式，解得k=28.75，b=1.25。由此建立一次函數模型：y=28.75x+1.25。將x=10代入上式，得y=288.75，即一次性購買10件約需要288.75元。

學生學習和實踐了根據數據擬合出一個適當的函數模型，體會到數學建模的思想。

三、充分利用教材的活動課題，組織學生開展課外數學活動，從生活中建構數學模型，培養學生的數學建模思想

在《標準》的實驗教材中有許多活動課題，這給予我們培養學生的數學建模思想，嘗試用所學的知識解決問題提供了一個平臺。利用這個平臺，使學生在生活中構建數學模型，領會數學建模的思想和方法，提高解決問題的能力。

例7.活動課題：利用直角三角形的邊角關系測量底部不能到達的物體高度。

活動課在室外進行，要求學生每人準備一個簡易測傾器，五人為一組用自做的測傾器測量底部不能直接到達的學校實驗樓的高度（樓高五層）。學生在課堂上已學習過測量建筑物高度的方法，在實地測量顯得格外興奮。按照測量的步驟，首先在實驗樓前選兩個測點A、C，用自做的測傾器由兩個測點測得樓頂的仰角，再量出測傾器的高和兩個測點的距離。

要把這個問題的已知量和未知量之間的關系清晰地表示出來，學生都認識到要畫出圖形，化數為形。如上圖所示（平面圖形模型）：PF為樓高，AB、CD為測量儀高，AC為兩測點間的距離，由A點測得樓頂的仰角為α，C點測得的仰角為β。那么如何計算樓的高度？經過大家的分析，認為在測量過程中，得到的數據是固定的，已知量和未知量之間具有相等關系，利用直角三角形的邊角關系，可列出方程求解，進而得到實驗樓的高度。在測量中還有意外的收獲：有的學生發現如果兩個測點的距離太近，由測傾器測的兩個仰角的度數幾乎一樣，測量的誤差就很大，而在距離10m以上的測量結果才較準確。我立即組織學生來檢驗，發現兩個仰角的度數幾乎一樣時，就有tanα≈tanβ，? ? ? ? ?-? ? ? ? ?≈

0，那就得不到樓的高度。為了使測量準確性大些，要求學生取兩個測點的距離不少于20m。收集各小組的測量數據的平均值，得到∠α=28°35'，∠β=67°17'，AC=22m，測量儀高1.5m。設樓高xm，根據直角三角形的邊角關系，得：

22+? ? ? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? ? 。（方程模型）

由此解得樓高x≈17.03m.

活動結束后，學生撰寫活動報告，并且把測量得到的實驗樓高度與該樓實際高度相比較，誤差少于0.5m。通過課外的活動課，學生經歷了數學建模的全過程，逐步樹立數學建模的思想方法，增強了應用意識。

由此可見，在初中數學教學中滲透數學建模思想，增強應用意識，能使學生感受到數學與實際的聯系，使學生在學習數學過程中認識到不僅要重視數學內容的本身，還要重視這些內容所反映的重要的數學思想和教育價值。他們不再把數學學習看成一種純粹的習題訓練了，而是在問題解決的全過程中得到學數學、做數學、用數學的實際體驗。通過數學建模思想的培養，學生親身體會到數學探索的愉悅，提高學習數學的興趣，提高了數學成績，并且為在高中階段進一步學習數學建模，學好數學知識打下良好基礎。

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[S]，北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]中學數學教學參考，2019，6.

（責任編輯：鄭曉玲）