數學思辨力,賦予理解生長的力量

錢麗

【摘要】隨著數學核心素養的提出，學生數學學習能力的培養顯得尤為重要，而數學思辨力是學生核心素養的重要組成部分.因此，筆者通過對學生數學思辨現狀的分析，在教學實踐中探尋培養學生數學思辨力的策略，促使數學理解從“淺表”走向“深刻”.

【關鍵詞】數學思辨力;思辨情境;思辨方式

隨著數學核心素養的提出，學生數學學習能力的培養顯得尤為重要，而數學思辨力是學生核心素養的重要組成部分.因此，在教學中，數學教師要為學生創設思辨的平臺，讓學生在思辨中經歷知識的發生和發展過程，完善對數學知識體系的認知，促使他們對數學的理解從“淺表”走向“深刻”.

一、厘清：數學思辨力的內涵

數學思辨力是一種思維品質，是指從數學的角度觀察紛繁復雜的現實世界，發現和提出問題，并能用數學的方法進行思考和辨析，探索解決問題的能力.這是一種指向學生高階思維的能力，它的強弱是衡量學生數學素養水平高低的一項重要指標.

二、審視：學生數學思辨的現狀

在數學課堂中，總有這樣一類學生：坐姿端正且從不干擾課堂教學，看似在聽，卻不知所云.心理學家卡爾·蘭塞姆·羅杰斯（Carl Ransom Rogers）將這些學生稱為“課堂上的觀光者”.這些“課堂上的觀光者”缺乏最基本的思辨力，在面對數學學習時，沒有什么可思，沒有什么可辨，只是一味地接受與模仿.這種內隱的思辨現狀導致其無法運用規范的數學語言去闡明觀點，交流思想，生成智慧.

學生的數學思辨力為何如此薄弱呢？筆者通過長時間觀察與分析，并結合四年級的學業水平測試，歸納出以下幾個方面的原因.

1.思辨惰性化

在數學學習的過程中，學生會有這樣一種依賴：教師說什么就是什么，教師讓做什么就做什么，從不懷疑教師、質疑書本，認為只要按照現行的方法“照葫蘆畫瓢”就是正確的.尤其在遇到具有挑戰性的問題時，他們往往生搬硬套舊知識，或者坐等其他人給出現成答案，缺失真正、真實的自我思辨.

例如，一根繩子長89米，第一次用去31米，第二次用去28米，現在的繩長比原來少了多少米？

本題得分率只有40%，這樣的局面是由長期“他思即我思、他辨即我辨”的惰性等待導致的.學生在面對“現在的繩長比原來少了多少米？”的新問題時，缺少主動思辨的意識.甚至有的學生簡單地將本題與“還剩多少米？”看作同一類問題，有的學生受“比……少多少”的形式化思維影響，想當然地照搬原方法，用“89-31-28”來解決.

2.思辨淺表化

隨著課堂教學改革的不斷深入，有些學生在數學學習的過程中能發現一些問題，并能表達簡單的想法，有了一定的思考能力，但這種思考往往缺乏對數學本質的深度思辨.按照弗賴登塔爾提出的“學習過程的層次”觀點來看，這種思辨水平屬于最低層次的學習，是為數學學習準備的.

例如，將白子與黑子如右圖那樣排列成正方形，如果白子用28個，那么黑子用（）個.

本題得分率只有44.8%.雖然很多學生知道是找規律的問題，但由于知識能力的不足，他們找不到解決的切入點，不知道從哪個角度觀察這些棋子，不會將棋子的擺放規律數學化……思來想去，無從辨起.因為這張圖不是一張完整的直觀圖，中間的省略號使得學生無法確定棋子擺放的具體個數，從而導致無法確定棋子擺放的內在規律.

3.思辨碎片化

在數學教學的過程中，許多教師受“化難為易”思想的影響，常常把大量的時間放在對單個知識點的練習和單一技能的訓練上.這樣的教學“只見樹木不見森林”，忽視了知識之間的聯系，導致學生孤立、零散、被動地接受無數個知識碎片.由于對知識的理解缺乏系統性和聯系性，學生的思辨力也呈現碎片化的狀態.

例如，明明家、君君家和學校的位置如下圖所示.明明家離學校有 800 米，君君家離學校有 500 米，明明家和君君家的距離可能是（? ）米.

A.280B.300C.1000D.1400

本題得分率只有10%.從直觀圖可以看出，本題要運用“三角形的三邊關系”的知識點來解決，明明家和君君家的距離就是第三邊的長度范圍，應該大于兩邊之差且小于兩邊之和，即在300～1300米之間.但是大部分學生無法有效溝通知識世界與生活世界之間的聯系，簡單地認為求兩點之間直線距離就是把所給的兩段路程相加或相減，忽視了這三個地點的位置關系，這種碎片化思辨限制了學生對數學知識的主動構建.

三、探尋：培養學生數學思辨力的策略

面對學生如此脆弱不堪的數學思辨力，筆者不由得反問：“我們怎樣才能提升學生的數學思辨力呢？”實踐證明，小學階段是培養學生數學思辨力的關鍵時期.通過立足學情，改變教學方式，開展相應的“思辨”訓練，教師可以有效激活學生思辨的內驅力，提升學生的數學思辨力.

1.創設思辨情境，提升活力

“學起于思，思源于疑”.小學生正處在好奇心旺盛的年齡階段，對新鮮事物、感興趣的東西特別好奇，總想去探個究竟，弄個水落石出.因此，在教學時，教師需要從學生的實際出發，創設有效的情境，激活學生思辨的內驅力，為學生開啟深度學習之門.

例如，在教學“分數的基本性質”這一內容時，筆者受張奠宙教授“把同一個分數的所有不同表示形式看成彼此相等的一個整體，就形成了一個‘等價類”的啟發，把等值分數寫到學生熟悉的卡牌中，創設“翻翻樂”的游戲情境，改變了傳統的教學模式.在這一游戲情境中，學生每次隨機翻開2張牌，都要對“相等嗎？”“為什么？”等問題主動思辨.（下面是筆者記錄的部分學生的對話）

甲方（翻開）：912和68，判斷不相等.

乙方（追問）：為什么不相等？請說明理由.

甲方（闡述）：無論9和12乘幾（或除以幾）都得不到6和8.

乙方（質疑）：呃……（拿出草稿紙開始寫一寫、畫一畫、算一算）

甲方重新審視.

乙方（反駁）：不對，9÷6=1.5，12÷8=1.5.912的分子分母只要同時除以1.5就可以得到68，因此，912和68是相等的.

甲方（恍然大悟）：對呀，我們怎么沒想到除以小數呢！

（有的學生還想到了912=34，68=34，借助了34這個中間量來說明912=68）

看似簡簡單單的12張卡牌，卻為學生營造了思辨的場域，幫助學生突破了經驗層面，有效促進了學生對“同一個數”“0”“與商不變規律的聯系”等問題進行質疑，滿足了不同思辨層次學生的需要.從某種意義上說，這樣的情境正是學生積極思辨、主動探索的一種生動表現.

2.給予思辨時空，漸悟本質

當今快節奏的生活方式，讓人們不斷地與時間賽跑，快速、快捷……這就導致教師在課堂上一味地鼓勵學生盡快做出反應，問題剛拋出就讓學生回答，舍不得給學生思辨的時間.鄭毓信教授曾提出，數學教學應當幫助學生學會“長時間思考”.這個“長時間思考”就是給予學生思辨的時空去漸悟知識本質的過程.

例如，“相遇問題”一直都是學生難以理解的問題，讀不懂，也理不清.張宏偉教師在執教這個內容時，進行深度挖掘，橫向拓展，采用模擬的方式給予學生充分思考的時間和空間.整堂課以一句話“甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行”開始，張宏偉教師先在教室里標注出A、B兩地，再請兩名學生現場表演相向而行，同時讓全班學生一起思考：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，在相向而行的過程中，兩人的位置關系會出現幾種不同的情況，請用手勢表示出來.

第一次，這兩名學生走到A、B兩地后自動停止了，這時，張宏偉教師夸張地追問以引發這兩名學生重新進行模擬.其他學生在笑聲中帶著問題重新觀察、分析、思考與質疑，因此，在第二次學生表演中概括出“相向而行”可能出現的情形.整堂課沒有任何一個數據，沒有任何一個習題的解決過程，但是學生不僅理解了“沒相遇、相遇、相遇過頭沒出界、相遇過頭出了界”4種相遇問題的情況，更重要的是學生在思辨中主動建立了相遇問題的各種模型.這主要歸功于張宏偉教師舍得花時間，讓學生在行走中聚焦相遇問題的核心要素，比純粹解題學習更有意思！

3.優化思辨方式，完善構建

數學知識之間有著很強的系統性和邏輯性，每一個知識點都有它的“生長點”和“延展點”，學生只有在不斷變化和重組的過程中形成數學知識網絡，才能達到對知識的深度理解.因此，教師要整體把握數學知識的結構，厘清新舊知識的縱向延伸和橫向聯系，巧妙設置認知沖突，優化學生的思辨方式，使學生的認知結構逐步得到完善.

例如，在計算“12÷5”時，學生出現了兩種結果：①12÷5=2……2，②12÷5=2.4.通過驗算，這兩個結果都對，但對于后者的結果，學生還是有疑問的.這時，教師可以放手讓學生闡述理由.學生可以借助購物情境、方塊圖、小數的性質來解釋“12÷5=2.4”.同時，教師可以順勢引導學生理解“余下的2添0再除，所得的商4為什么要寫在十分位上”這一問題.

學生在理解算理之后可以進行算法的鞏固，但張宏偉教師又追問：“為什么以前除到有余數就可以得出答案，現在卻要繼續除下去呢？”這一問題捅破了那層“窗戶紙”，引發了學生進行全方位的思辨，在辨析交流中使學生逐漸體會：整數除法在除不盡時，讓商和余數并存，只是求得一個近似結果，如果要得到精確的答案，就必須繼續除下去，這就體現了小數除法的價值.在不斷優化思辨方式的過程中，學生不僅理解了繼續除的意義，而且溝通了小數除法和整數除法之間的聯系，知道了整數除法是小數除法的生長點，小數除法是整數除法的拓展.在這一過程中，學生由淺表的思考向縱深發展，主動構建知識網絡，思維的嚴密性和條理性也得到了彰顯.

總之，培養學生的數學思辨力是促進其數學理解的重要方式.在教學時，教師要有意識地為學生搭建思辨的平臺，引發學生對數學問題進行多維度思辨，促使學生的數學素養和關鍵能力得到長足發展.

【參考文獻】

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2]趙紅婷.用什么提高課堂效率：有效數學課必須關注的10大要素[M].重慶：西南師范大學出版社，2011.

[3]張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.