淺析導數在高中數學中的地位與應用

楊志遠

【摘要】導數是高中數學和高等數學間的重要紐帶，其為高中數學添加了不少新的活力.高中生對導數知識進行學習，有助于其對函數性態進行理解與掌握，同時發展他們的思維能力，這對其日后學習以及發展大有裨益.基于此，本文在分析高中階段數學教學當中導數具有的重要地位的基礎上，著重對高中階段數學教學中導數的應用展開探究，希望能對實際教學有所幫助.

【關鍵詞】高中數學;導數;地位;應用

前言：高中階段的數學中包含很多把高等數學有關知識當作背景的問題.在微積分中，導數屬于一個核心概念，其在高中數學中具有重要作用.為此，數學教師需對導數這個知識點加以重視，幫助高中生對導數的應用進行歸納總結，進而有效提升其學習效率及解題能力.

一、高中階段數學教學中導數具有的重要地位

（一）有助于高中生對函數性態進行理解，幫助其對函數思想加以掌握

事實上，多數數學問題很難甚至無法借助初等數學有關方法加以解決.但借助函數思想，可以把實際問題抽象為相應的數學模型，同時構建有關函數關系，之后發揮出導數具有的工具性以及應用性，這樣可以對問題加以有效解決.

進行函數學習期間，高中生通過對函數值域、定義域、周期性、單調性、奇偶性以及有界性進行學習，可以對函數性態加以理解.其實，這些性態全都能在函數圖像中獲得.因此，數學教師可要求高中生通過描點法把函數圖像準確地畫出來.然而，假設涉及的函數并非初等函數，是高階函數，那么其圖像更加復雜，若單純運用描點法進行繪圖，則難以準確得到函數圖像.此時，就顯現出了導數具有的優點.高中生可借助函數具有的一階導數來對函數最值與最值區間、單調性加以確定，借助二階導數對函數拐點以及凹凸性進行判斷，之后結合極限思想把水平與垂直的漸近線找出來，這樣可以對函數圖像進行大致繪制.

（二）有助于高中生對其他的自然學科進行學習

數學屬于基礎學科，具有工具性與基礎性的特征，其和物理以及化學這些自然學科存在著緊密聯系.實際上，導數為微積分當中的一個重要概念，研究對象為函數，把函數極限當作基礎，涉及變化率這個問題，其在工程、天文、物理以及化學這些領域當中有著廣泛運用.比如，當高中生對導數知識掌握以后，可以快速求出物理學中變速直線運動的瞬時速度以及瞬時加速度，快速求出化學中的冷卻速度與反應速度.

（三）有助于發展高中生思維能力

在高中階段的數學知識中，導數內容屬于重要的構成部分，受到教師的高度關注.如今，新課標已經明確指出，高中階段的數學教師需借助大量實例來讓高中生認識以及理解導數知識，以此來提升其思維能力.高中生通過對導數知識進行學習，可以使其從有限、靜態、常量這種數學觀點逐漸過渡到無限、動態、變量的這種數學觀點，這樣有助于發展高中生思維能力.

二、高中階段數學教學中導數的應用

（一）函數解題中導數的應用

1.借助導數解答函數單調性的問題.

利用導數對函數具有的單調性進行判斷，主要包括4個步驟：第一，對函數f（x）的定義域加以確定;第二，求函數f（x）的導數f′（x）;第三，在函數f（x）的定義域中，解不等式f′（x）>0或f′（x）<0;第四，對f（x）具體的單調區間進行確定.如果函數式中包含字母系數，那么通常需要進行分類討論.

例如，求f（x）=x3+3x的單調區間.

分析 首先應當對函數f（x）的定義域進行確定，之后借助導數討論函數f（x）的單調區間.

解 很顯然，函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），

f′（x）=3x2-3x2=3（x2+1）（x+1）（x-1）x2，

根據f′（x）>0，能夠得到x<-1或x>1;又根據f′（x）<0，能夠得到：-1

通過此題我們能夠看到，借助導數來對函數對應的單調區間進行判斷非常簡單，只需要把函數f（x）對應的導數f′（x）求出來，之后解不等式f′（x）>0以及f′（x）<0即可.這樣一來，高中生在解答此類問題時即可擁有非常明確的解題思路，能夠快速以及準確解題.

再如，函數f（x）=x2eax，其中a≤0，求f（x）具有的單調性.

解 先求導，f′（x）=x（ax+2）ex.

（1）當a=0時，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此時x=0，說明f（x）在x=0處單調性改變.

而當x>0時，f′（x）>0，說明f（x）在（0，+∞）上單調遞增;

當x<0時，f′（x）<0，說明f（x）在（-∞，0）上單調遞減.

（2）當a<0時，令f′（x）=x（ax+2）ex=0，此時x=0或x=-2a.

當x<0時，f′（x）<0，

說明f（x）在（-∞，0）上單調遞減;

當00，

說明f（x）在0，-2a上單調遞增;

當x>-2a時，f′（x）<0，

說明f（x）在-2[]a，+∞上單調遞減.

2.借助導數求函數值域、最值與極值.

導數不僅可以用于對函數的單調性進行判斷，還在對函數值域、極值以及定義域的求解問題中起著重要作用.導數可以對求函數極值、最值以及值域這些問題加以簡化.

例如，求函數f（x）=2x+1-x+2的值域.

分析 我們首先應當對函數f（x）的定義域進行確定，并且準確求出函數f（x）對應的導數f′（x），并且對f′（x）具有的正負進行判斷，從而把函數f（x）的值域求出來.

解 很顯然，函數f（x）的定義域是-12，+∞.

f′（x）=12x+1-12x+2=2x+2-2x+12x+22x+1，而2x+2-2x+1=2x+72x+2+2x+1，

由此可見，

當x>-12時，f′（x）>0，

因此f（x）=2x+1-x+2在-12，+∞上為增函數.

又因為f-12=-62，

所以函數f（x）的值域為-62，+∞.

（二）在求曲線切線方程中導數的應用

f′（x）具有的幾何意義實際上等同于曲線y=f（x）的切線斜率，則曲線在點（x0，y0）處的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.縱觀近幾年高考數學中的試題，我們極易發現其中含有大量的函數知識，而借助導數進行求解，能夠使得問題得以簡化.

比如，曲線y=x4的一條切線m與直線x+4y-5=0垂直，求直線m方程.針對此題，我們設出切點，表示出斜率，即可根據已知條件求出具體方程.

（三）探究方程根具體分布時導數的應用

設函數f（x）在（a，b）上連續，f′（x）在（a，b）上保持符號不變，如果f（a）f（b）<0，那么f（x）=0在（a，b）上存在唯一實根，如果f（a）f（b）>0，那么f（x）=0在（a，b）上無實數根.

（四）不等式證明中導數的應用

高考數學的試題中，函數經常與不等式一同考查，尤其是最近幾年在核心素養及素質教育之下，數學命題更加趨向于綜合化，進而使得不等式和函數的結合變得更加緊密.而對這類試題進行求解，導數是最佳的解題方法.

例如，已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中0

證明 先求出f′（x），其中f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，

由f（x）在x=s與x=t時取到了極值，可知s，t為二次方程f′（x）=0的兩個實數根，

又因為f′（0）=ab>0，f′（a）=a2-ab=a（a-b）<0，

f′（b）=b2-ab=b（b-a）>0，所以f′（x）在（0，a）和（a，b）上分別有一實數根，再由s

上述例題先運用導數方法對函數進行降冪，將問題轉化成求區間上存在實數根這一問題，然后根據實數根分布相關理論，結合數形結合思想，對不等式加以證明.

結 論

綜上可知，在高中階段的數學中，導數具有重要地位，對導數的學習有助于高中生對函數性態進行理解，幫助其對函數思想加以掌握，有助于高中生對其他的自然學科進行學習，并且有助于發展高中生思維能力.所以，數學教師需對導數知識加以重視，積極帶領高中生對導數知識在數學解題中的應用展開探究.

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