聚焦“向量與三角”創(chuàng)新題

何俊

縱觀近幾年各地的數(shù)學(xué)高考真題，綜合題比重有所上升成為高考命題的主要變化趨勢(shì)，知識(shí)點(diǎn)的交匯成為命題的一種常態(tài)，向量與三角是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，它們是考查方程、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想的主要載體，因此，向量與三角的交匯題型既是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)，本文在研究近幾年高考真題的基礎(chǔ)上，對(duì)這一類問題進(jìn)行了分析與預(yù)測(cè)，希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考有所幫助。

創(chuàng)新題型1：方程視角下的“向量與三角”問題

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦定理、兩角和差公式等知識(shí)點(diǎn)，在解題過程中，要注意方程變形的等價(jià)性，通過三角函數(shù)值求角時(shí)，注意結(jié)合角度的取值范圍。第（2）問主要考查了向量的線性運(yùn)算、余弦定理、面積公式等知識(shí)點(diǎn)，在解決面積問題時(shí)，應(yīng)用了數(shù)學(xué)的整體思想。

創(chuàng)薪題型2：函數(shù)視角下的“向量與三角”問題

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問以向量的模為載體，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用函數(shù)解決最值問題。同學(xué)們應(yīng)注意函數(shù)的定義域是研究函數(shù)的關(guān)鍵因素，使用三角換元時(shí)，應(yīng)注意正、余弦函數(shù)的有界性。第（2）問首先利用數(shù)量積公式及三角恒等變換將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=A sin（ωx+φ）（A>0），再利用其圖像性質(zhì)求出最值。

點(diǎn)評(píng)：上述求解過程的切入點(diǎn)是引入輔助角θ，準(zhǔn)確寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，以便靈活利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算加以求解。本題以向量垂直為入手點(diǎn)，考查數(shù)量積的最值，從而體現(xiàn)了向量的工具性，同時(shí)要注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。

創(chuàng)新題型3：恒等關(guān)系視角下的“向量與三角”問題

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量的線性表示、數(shù)量積運(yùn)算、正余弦定理及三角恒等變換，解題的關(guān)鍵是將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系，再利用切化弦和正余弦定理將目標(biāo)轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系，通過整體思想，得出結(jié)論。在三角的化簡(jiǎn)變形過程中，弦切互換、邊角轉(zhuǎn)換是常用的變形技巧，同學(xué)們?cè)诮鉀Q相關(guān)問題的時(shí)候要能夠靈活使用。

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，向量與三角是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的重要載體，試題難度以中低檔題為主，通過對(duì)以上四道典型例題的分析和解答，旨在為同學(xué)們熟悉向量與三角的基本題型，掌握解決這類問題的基本方法，提升自己的數(shù)學(xué)探究能力，把握新高考的基本動(dòng)態(tài)。

（責(zé)任編輯 王福華）