線性代數中初等變換在矩陣理論中的應用

龐峰

【摘要】矩陣是整個線性代數課程的基礎，線性代數的很多概念和應用都離不開矩陣，而初等變換是矩陣運算中的最主要、最常見的一種運算，也是解決矩陣問題的一個基本方法，它幾乎貫串線性代數的始終.鑒于矩陣初等變換的重要性，本文將對矩陣的初等變換應用于不同方面做一個歸納與總結，便于理清各知識點之間的內在聯系，對掌握矩陣理論十分有幫助，同時，希望本論文的研究也會給相關的學者一些建議和思考.

【關鍵詞】 矩陣理論的應用;線性代數;初等變換

【基金項目】課題名稱：“金課”標準下的《線性代數》線上、線下混合式教學研究，課題編號：YJ202012，課題來源：2020山西警察學院院級教學改革創新項目重點課題

隨著時代的發展，矩陣由最初的一種工具逐漸演變為一門數學分支——矩陣論，而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論及廣義逆矩陣論等矩陣的現代理論，已經被廣泛地應用在了現代科技的各個領域之中.矩陣就是一個整齊排列的實數或復數的數塊或者說集合，它本身沒有任何運算的功能.正是初等變換賦予了矩陣變化的“魔力”，才把矩陣理論中的絕大部分內容有機地聯系起來.由此可見，矩陣的初等變換在矩陣理論中起著舉足輕重的作用，是其核心和精髓.通過初等變換將矩陣A轉化為更為簡單的矩陣B，然后利用矩陣B來對矩陣A進行研究，這已被公認為是一種方便、有效的途徑.

我們通常所說的矩陣的位置變換就是將矩陣中的兩行（或列）的位置進行對換，記作：RiRj或CiCj;其次是數乘變換：就是將矩陣的某一行（或列）乘一個不等于零的數k，記作：kRi或 kCi;最后是消去變換：就是將矩陣中的某一行（或列）的適當倍數加到另外的一行（列）上，記作：Ri+kRj 或Ci+kCj.以上三種變換統稱為矩陣的初等變換.關于初等變換的重要結論：任何一個矩陣，通過有限可數次的初等變換都可以化成階梯形，再進一步化為行最簡形矩陣.這一結論保證了初等變換的可行性，同時也指明了變換的最終方向.

矩陣的初等變換有很多優點，如，它只涉及加減乘除四則基本運算，計算簡單;化簡過程有規律，算法很容易實現;初等變換表面上是一種等價變化，實質上卻是矩陣乘法的可逆恒等運算，從而通過形式的轉化實現恒等運算的本質;初等變換的化簡過程靈活多樣，因人而異，但結果卻唯一，且保持矩陣的本質屬性即矩陣的秩不變.總之，矩陣初等變換的實質是將問題化繁為簡、化多為少、化大為小，并且保持事物的本質屬性不變.我們要善于運用矩陣的初等變換這一有力工具來幫助我們達到解決矩陣問題的目的，并掌握矩陣初等變換的廣泛應用.

一、求逆矩陣

逆矩陣的求解是矩陣理論中的一個十分重要的內容.對于一個方陣A，我們可以采用初等變換的方法來判斷這個矩陣是否可逆，而且在可逆的情況下還可以求出其逆矩陣A-1.也就是先將原矩陣與同階單位矩陣采用拼接的方式得到一個新矩陣，再對這個矩陣進行轉化，遵循AB=BA=E（其中A為可逆矩陣，E為單位矩陣）的規則，以此來確定它的逆矩陣.如果在變換過程中，與A等價的矩陣無法變成E時，則A不可逆.具體形式如下：

（A|E）→…→初等行變換（E|A-1）或AE→…→初等列變換EA-1

求逆矩陣還可以采用伴隨矩陣的方法進行求解.對于一個n階方陣A，用伴隨矩陣計算逆矩陣A-1，需要計算n2+1個行列式，計算量相當大，而且這n2+1個行列式要計算出值也非易事.相比之下，利用初等變換來計算逆矩陣就顯得較為簡便、實用、快捷.

二、解矩陣方程

對于矩陣方程，比矩陣的乘法運算更簡單、實用，而且計算方便的方法即是初等變換的方法.

（1）形如AX=B的矩陣方程，由于A-1（A，B）=（E，A-1B），因此采用初等行變換很容易得出它的解X=A-1B.具體過程為：AB→…→初等行變換EA-1B.

（2）形如XA=B的矩陣方程，同理可得ABA-1=EBA-1

，可以采用矩陣的初等列變換進行求解，得出X=BA-1，具體過程為：

AE→…→初等列變換EBA-1.

（3）形如AXB=C的矩陣方程，可以參照（1）（2）兩種基本形式，得出其解為X=A-1CB-1，具體過程為：

（A|C）→…→初等行變換（E|A-1C），BA-1C→…→初等列變換EA-1CB-1.

另外，對于其他變異形式的矩陣方程，可以先通過恒等變形轉化為上述（1）或（2）的基本形式，再解之.

三、計算矩陣的秩

矩陣的秩是矩陣的一種固有本質屬性，是討論矩陣問題、線性方程組的解的問題、向量組相關性、線性空間基等的重要依據，也是透過現象看本質的重要載體.一般矩陣用定義求其秩，需要從最高階式子起一階一階地試驗結果是否非零，顯然偶然性很大，而且計算也比較煩瑣.矩陣的秩有如下三個重要結論：（1）行階梯形矩陣的秩就是非零行的行數;（2）矩陣的秩不隨矩陣的初等變換而發生變化;（3）任何一個矩陣的行秩等于列秩.據此，我們把矩陣進行初等變換，化成階梯形矩陣后，非零行數目就是它的秩.這一方法大大方便了計算矩陣的秩，算法更為快捷和適用.

四、高斯消元法的應用

線性方程組作為數學方程組的一種，一般由未知數（一次）、系數、常數等組成.方程組同解變換的求解過程，實質上只是對未知量系數和常數項進行相應變化的過程.所以，透過現象看本質，求解實際上就是由方程組的未知量系數和常數項構成的增廣矩陣進行初等變換的過程.它不僅能判斷方程組解的各種具體情況，還可以有效地求出線性方程組的解.如果方程組存在解，那么可將其轉化為行最簡形矩陣，求出方程組Ax=b的解，這就是線性代數中的高斯消元法.具體過程如下：增廣矩陣B=（Ab）初等行變換階梯形結合秩，判斷解的情況初等行變換最簡形求出解

這一方法求解過程的關鍵正是矩陣的初等變換.值得強調的是，使用高斯消元的過程，只能使用初等行變換，而不能使用初等列變換，否則，就不是方程組的同解變換了.高斯消元法是解線性方程組最普適的一種方法，不管方程組中未知量的個數和方程個數是多少，也不管方程組解的情況怎樣，對各種線性方程組都適用.而且，從計算量上說，該方法也要比Carmer法則優越得多，大大降低了線性方程組解的判定與求解難度.

例如，a，b取何值時，非齊次線性方程組

x1+x2+x3+x4=1，

x2-x3+2x4=1，

2x1+3x2+（a+2）x3+4x4=b+3，

3x1+5x2+x3+（a+8）x4=5，

（1）有唯一解？（2）無解？（3）有無窮多個解？有解時求出全部解.

解：用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，

B=（A，b）=1111101-12123a+24b+3351a+85～R3-2R1R4-3R11111101-12101a2b+102-2a+52

～R3-R2R4-2R21111101-12100a+10b000a+10

由此可知：

（1）當a≠-1時，R（A）=R（B）=未知量個數4，方程組有唯一解：

x1=-2ba+1，x2=a+b+1a+1，x3=ba+1，x4=0;

（2）當 a=-1，b≠0時，R（A）=2≠R（B）=3，方程組無解;

（3）當a=-1，b=0時，R（A）=R（B）=2<4，方程組有無窮多個解.

（c1，c2為任意常數）.

五、求方陣的特征值與特征向量

工程技術中的一些問題如振動問題、穩定性問題，常常可歸結為求一個方陣的特征值和特征向量的問題.矩陣A的特征值λ0是它的特征方程的根，對應λ0的全部特征向量p是齊次線性方程組的非零解，而對齊次線性方程組的非零解的討論其實就是使用初等變換進行高斯消元的過程.

六、對稱矩陣的對角化

對稱矩陣是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣，由于其轉置矩陣和自身相等而被稱為對稱矩陣.對稱矩陣可以用一般的由特征向量組成的非奇異陣作對角化，只不過它有特殊的性質（對稱），因此我們就可以考慮特殊的對角化，即正交相似對角化.我們需要利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，比較簡單且易理解，其具體的步驟是：（1）求A的特征值λ1，λ2，λ3，…，λn;（2）（A-λiE）X=0，求出A的特征向量;（3）將特征向量正交化;（4）將特征向量單位化得p1，p2，…，pn;（5）寫出正交矩陣P=（p1，p2，…，pn）.我們只有合理選擇方法，才能提高研究效率.

七、廣義初等變換的使用

為了簡便，我們需對大規模矩陣進行分塊，使大矩陣的運算化分成幾個小矩陣的運算.同樣，對于分塊矩陣，也可以把矩陣的每一個子塊作為矩陣的一個基本元素，像普通矩陣一樣進行位置變換、數乘變換和消去變換這三種基本變換，這被稱為分塊矩陣的廣義初等變換.由于廣義初等變換本身具有較好的性質，也是矩陣運算中極為重要的方法，可以有效地將疑難問題簡單化，因此其成為廣大學者日益關注的熱點話題之一.

結束語：矩陣是連接方程組理論與幾何理論的紐帶，因此矩陣是解決線性代數中線性方程組、向量空間、線性變換等問題最常用的方法.而初等變換作為矩陣理論的一條主線，不僅能夠簡化矩陣為階梯形或最簡形，而且作為矩陣理論中極其重要的一種運算，它是上述幾類問題的基礎與核心.因此，初等變換在線性代數中的應用十分廣泛，只有真正掌握了這種方法，才能巧妙地運用其解決線性代數中相對復雜的問題，以達到事半功倍的效果.

【參考文獻】

[1]李慧.矩陣的初等變換在線性代數中的簡單應用[J].課程教育研究，2019（09）：142-143.

[2]繆應鐵.矩陣的初等變換在線性代數中的一些應用[J].數學學習與研究，2018（17）：24.

[3]張忠.矩陣的初等變換在線性代數中的應用[J].納稅，2017（25）：188，190.

[4]吳英柱.矩陣的初等變換在線性代數中的若干應用與探討[J].廣東石油化工學院學報，2017（01）：71-75，94.