如何講解不定積分

杜先云 任秋道

【摘要】函數的不定積分是與函數導數（微分）相反的問題，本文給出了利用導數（微分）來計算不定積分的方法，同時推廣了不定積分的基本公式.

【關鍵詞】導數;微分;不定積分

【基金項目】四川省教育廳基金資助（16ZB0314）

一、引 入

許多實際問題需要解決與求導問題相反的問題，即已知某個函數的導數來求這個函數，也就是求一個可導函數，使它的導函數等于已知函數.由此引出了原函數和不定積分的概念.反的問題比正的問題更加難于理解.例如，學生理解反函數就比較困難.不定積分比導數更難理解，不易入門，為此筆者歸納總結了如下內容.

二、不定積分的概念

定義1 設f（x）是定義在區間I上的一個函數.如果存在區間I上的一個可導函數F（x），使得對任意的x∈I均有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx，

那么函數F（x）稱為f（x）（或f（x）dx）在區間I上的一個原函數.也就是說，一個函數的導數等于已知函數，這個函數就是已知函數的原函數.

原函數的存在問題 如果f（x）在某區間I上連續，那么f（x）在該區間上一定有原函數，即一定存在區間I上的可導函數F（x），使得任意x∈I，都有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx.

原函數的一般表達形式 如果f（x）一旦存在原函數，它的原函數就不唯一，那么這些原函數之間有什么差異呢？能否寫成統一的表達式呢？對此，有如下結論：

定理1 若函數F（x）是f（x）的一個原函數，則F（x）+C是f（x）的全部原函數，其中C為任意常數.

證明 若f（x）有一個原函數F（x），則有F′（x）=f（x），且對于任意常數C，

[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x） （x∈I），

即函數F（x）+C也是f（x）的原函數.也就是說，如果f（x）有一個原函數F（x），那么就有無窮多個原函數.

另一方面，設G（x）是f（x）的另一個原函數，即G′（x）=f（x），下面證F（x）與G（x）之間只相差一個常數.事實上，由于

[F（x）-G（x）]′=F′（x）-G′（x）=f（x）-f（x）=0 （x∈I），

根據拉格朗日中值定理的推論：在一個區間上導數恒為零的函數為常數，

所以

F（x）-G（x）=C0（C0為某一個常數），

或者G（x）=F（x）+C0.

因此，對于任意常數C，表達式F（x）+C

就可以表示f（x）的任何一個原函數.

f（x）的全體原函數所構成的集合是一個函數族，記為

{F（x）+C|-∞

為了書寫方便，簡記為F（x）+C.

定義2 如果函數f（x）在區間I上有原函數，那么f（x）在I上的全體原函數所組成的集合稱為f（x）在區間I上的不定積分.也就是說，函數f（x）在區間I上含有任意常數的原函數（即F（x）+C）是f（x）在區間I上的不定積分，記為∫f（x）dx，

其中符號∫叫作積分符號，x叫作積分變量，f（x）叫作被積函數，f（x）dx叫作被積表達式.

三、利用微分理解不定積分

不定積分是導數（微分）的逆問題，導數（微分）運算與積分運算是互逆運算，因此常常借助于導數（微分）運算來計算不定積分.

定理2 函數的不定積分與微分（導數）的關系：

ddx∫f（x）dx=f（x），d∫f（x）dx=f（x）dx，

∫F′（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=F（x）+C.

證明 設F′（x）=f（x），有∫f（x）dx=F（x）+C.

利用導數與微分的運算法則可得：

ddx∫f（x）dx=[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x），

d∫f（x）dx=d[F（x）+C]=dF（x）+dC=f（x）dx，

∫F′（x）dx=∫f（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=∫F′（x）dx=F（x）+C.

積分與微分的關系表明：符號∫表示積分運算，d表示微分運算.當積分運算∫與微分運算d結合在一起（它們中間沒有任何函數）時，相互抵消，或者抵消后剩余一個常數.因此，在忽略任意常數的基礎上，積分與微分互為逆運算.與加減乘除四則運算類似，要求逆運算積分，開始的時候常常要借助順運算微分.不定積分∫f（x）dx是一個整體記號，也可以拆開來理解，符號∫表示積分運算，dx可以看作變量x的微分，而f（x）dx則表示一個函數的微分.計算∫f（x）dx就是尋找原函數的微分，即求出dF（x）.也就是

∫f（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.

例如，

∫dx=x+C，∫dsin x=sin x+C，∫de2x=e2x+C.

此外，我們也要理解公式： ∫F′（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.如，

∫kdx=∫（kx）′dx=kx+C，

∫sec2xdx=∫（tan x）′dx=tan x+C，

∫11-x2dx=∫（arcsin x）′dx=arcsin x+C.

例 已知（1）f′（sin2x）=cos2x，（2）∫f（x）dx=ex+cot x+C，分別求f（x）.

解 （1）因為f′（sin2x）=cos2x=1-sin2x，

所以f′（x）=1-x，

因而f（x）是1-x的原函數.由定理2，可得

f（x）=∫（1-x）dx=x-x22+C.

（2）根據定理2，可得

f（x）=ddx∫f（x）dx=（ex+cot x+C）′=ex-csc2x.

四、基本積分公式及推廣

因為積分運算與微分運算互為逆運算，所以由導數公式可以相應地得出基本積分公式.基本積分公式是求不定積分的基礎，其他函數的不定積分常常經過運算變形后最終都歸結為運用基本積分公式求解.直接利用基本積分公式與線性性質來求解不定積分的方法常常被稱為直接積分法.

下面推廣基本積分公式.我們知道，基本積分公式有時不能很好地解決大量初等函數的原函數問題，需要加以推廣.有下面定理：

定理3 如果∫f（x）dx=F（x）+C，u=φ（x）是x的任一可導函數，則

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

證明 由∫f（x）dx=F（x）+C，知F′（x）=f（x），

又u=φ（x）是x的可導函數，則有u′=φ′（x），從而F[φ（x）]可導，并且利用復合函數的求導法則，可得

ddxF[φ（x）]=dFdu·dudx=F′[φ（x）]φ′（x）=f[φ（x）]φ′（x）.

因此，F[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）的一個原函數，從而∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

根據微分的意義，有φ′（x）dx=du，可得

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

定理3表明：如果F（x）是f（x）的一個原函數，u=φ（x）是任一可導函數，則有

∫f（u）du=F（u）+C，即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

也就是說，在不定積分的等式中，將積分變量換成任一可導函數等式仍然成立.因此，在基本積分公式中，把自變量x換成任一可微函數u=φ（x）后，公式仍成立.如，

∫ex2dx2=ex2+C，u=x2;

∫11+xd（1+x）=ln|1+x|+C，u=x+1;

∫11+x2d（1+x2）=ln（1+x2）+C，u=x2+1;

∫1cos xd（cos x）=ln|cos x|+C，u=cos x.

這個定理極大地豐富了基本積分公式的內容，也擴大了其使用范圍.

【參考文獻】

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