領悟知識內涵 把握提高尺寸

錢淑華

【摘要】基本不等式是解決多元函數最值問題的有力工具.因為學生對此還存在模糊認識，所以筆者在復習課中設置典型例題，并加入變式訓練，幫助學生學會觀察和分析代數式的結構特征，引導學生歸納配湊定值的技巧，使學生更好地掌握使用基本不等式求多元函數最值的方法.

【關鍵詞】多元函數的最值;配湊定值

一、基本情況

1.學情分析

授課的班級為四星級重點高中高一理科實驗班，學生整體水平較高，大部分學生思維活躍而且嚴密，能很好地參與教學互動.

2.教學內容分析

（1）地位及作用

本節課是“基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）”的第三課時.在前兩個課時中，學生已經探索并了解了基本不等式的證明過程，并能初步運用基本不等式求最值.本節課的目標定位是提升學生運用基本不等式解決多元函數最值問題的能力，加深對“一正”“二定”“三相等”的理解.

（2）教學重點、難點

重點：運用基本不等式求最值.

難點：配湊定值.

（3）設計思路

本節課從學生已有的基礎知識和解題經驗出發，通過典型例題的講解引導學生歸納配湊定值的技巧，并在變式訓練中讓學生學會觀察和分析代數式的結構特征.

二、教學過程

1.復習回顧，溫故知新

師：在前兩節課中，我們學習了基本不等式，它反映了兩個正數的算術平均數與幾何平均數之間的確定的不等關系.我們運用它求了哪兩類最值問題呢？

生：基本不等式的內容是：設a>0，b>0，則a+b≥2ab，ab≤a+b22，當且僅當a=b時等號成立.所以，當ab為定值時，a+b有最小值，即積定和最小;當a+b為定值時，ab有最大值，即和定積最大.

師：非常好.今天我們運用基本不等式來解決一些初步的多元函數最值問題.

【設計意圖】回顧前兩課時的知識，指出運用基本不等式解決的兩類最值問題，為接下來的例題教學指明方向.

2.典例精析，構建方法

例1 若x，y是正數，求x+12y2+y+12x2的最小值.

學生給出了以下幾種解法：

法一：因為x，y是正數，所以x+12y2+y+12x2=x2+14x2+y2+14y2+xy+yx≥2x2·14x2+2y2·14y2+2xy·yx=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

法二：因為x，y是正數，所以x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x

=2（xy+14xy+1）≥2（2xy·14xy+1）=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

法三：因為x，y是正數，所以x+12y2+y+12x2≥2x·12y2+2y·12x2=2xy+2yx≥22xy·2yx=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

【設計意圖】此題的切入面較寬，目的是讓學生多角度地思考問題.從解題的過程來看，學生抓住了x+12y2+y+12x2的特點，用多種方式構造乘積為定值，可謂百花齊放.法一將各項重組，配湊了三對乘積為定值的式子，即x2與14x2，y2與14y2，xy與yx.法二和法三都是先用一次基本不等式將目標函數縮小為乘積形式，然后再配湊定值.這些解法也讓學生明確：在多次運用基本不等式求最值時，只要保證每一次等號都能同時取到，那么就能取到最終的最值.

例2 已知a>0，b>0，a+b=1，求a+1ab+1b的最小值.

兩位學生給出了不同的解法，結果也不一樣.

生1：因為a>0，b>0，所以a+1ab+1b≥2a·1a·2b·1b=4.

生2：因為a>0，b>0，所以a+1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥ab+1ab+2，又因為1=a+b≥2ab（當且僅當a=b=12時等號成立），所以ab≤14，又函數y=x+1x在0，14上單調遞減，所以當ab=14時，ab+1ab+2取得最小值，為254，所以當a=b=12時，a+1ab+1b取到的最小值為254.

師：這兩種解法的結果不一樣，大家怎么看呢？

生3：我認為生2的解法是對的，因為在他的解題過程中每一次等號都能同時取到，而生1的解法中，等號成立的條件是a=1a且b=1b，即a=b=1，這與條件a+b=1矛盾，所以a+1ab+1b取不到4.

師：思考得非常嚴謹！這道題提醒我們，在求多元函數最值時要時刻關注等號成立的條件.

【設計意圖】這道例題既讓學生明確配湊定值的方向性，又讓學生在多種解法的辨別中認識到等號成立的重要性.從教學效果來看，學生普遍意識到在運用基本不等式求最值時要規范地書寫解題過程.

例3 若x>0，y>0，z>0，求xy+yzx2+y2+z2的最大值.

學生的解法：因為x>0，y>0，z>0，

所以xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+y22+y22+z2≤xy+yz2x2·y22+2y22·z2=xy+yz2xy+2yz=22（當且僅當x=y2=z時等號成立）.

教師給出如下變式：若x>0，y>0，z>0，求2xy+yzx2+2y2+z2的最大值.

學生的解法：因為x>0，y>0，z>0，所以設2xy+yzx2+2y2+z2=2xy+yz（x2+λy2）+[（2-λ）y2+z2]≤2xy+yz2λxy+22-λyz，