基于數學思想滲透的中考幾何總復習案例研究

鄭秋月

【摘要】學生數學思想的形成需要在過程中實現，學生只有經歷問題的解決過程，才能體會到數學思想的作用，才能理解數學思想的精髓，才能進行知識的有效遷移.

【關鍵詞】等腰三角形;分類思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.數學思想的形成需要經歷從模糊到清晰、從理解到應用的長期發展過程，需要在不同的數學內容教學中通過提煉、總結、理解、應用等循環往復的過程逐漸形成，學生只有經歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數學知識、技能中蘊含的數學思想.

復習課是教學中不可缺少的一環，而中考復習課立足于整個初中階段，在知識的內在聯系和對數學思想方法的感悟方面對學生提出了更高更深的要求.基于數學思想滲透的中考總復習如何實施更是值得思考.下面以等腰三角形的復習為例，談談筆者的思考.

一、引“等腰”悟“分類”復習設計

問題1：以線段BC為底邊，用尺規畫一個等腰三角形.請說出這個圖形的作圖過程及運用到的知識.

預設：學生通過作圖回顧等腰三角形的定義.

追問1：以線段BC為底邊，用尺規畫等腰直角三角形.請結合所畫圖形說明作圖的過程，并回顧在剛才的畫圖過程中運用了等腰三角形的哪些知識.

預設：學生作等腰直角三角形主要有兩條思路：一是作兩個45°的底角構造等腰直角三角形;二是以BC為直徑作半圓，再作BC的垂直平分線，將半圓與垂直平分線的交點和B，C兩點相連構造等腰直角三角形.第一條思路需要運用“等角對等邊”，第二條思路則綜合運用“直徑所對的圓周角是直角”和“垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”.

追問2：怎么把剛剛畫的等腰直角三角形分成兩個全等的三角形？

預設：學生思考上面所作的BC的垂直平分線是底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線.

問題2：請添加一個條件解答問題：在△ABC中，AB=AC=5，，求△ABC的面積.

師：可以添加哪些角的角度？先獨立思考，再小組討論.

生1：可以添加頂角的度數，60°，90°或120°.

師：還可以添加什么？

生2：也可以添加底角的度數，60°，45°或30°.

師：既可以添加頂角的度數也可以添加底角的度數，結果是一致的.除了添加角度，還可以添加什么條件也能求面積？

生3：可以添加邊的長度，如BC=5，52，53等.

師：你是怎么想到這些長度的？

生3：受到剛才特殊角的啟發.

師：很好，邊的問題也可以轉化成角的問題，它們可以互相轉化.還可以添加什么條件？

生4：還可以添加高，底邊上的高，腰上的高都可以.

師：如果是等腰直角三角形，腰上的高就是另一條腰，其他情況呢？要注意什么？

生5：如果是銳角三角形，高在三角形內部;如果是鈍角三角形，腰上的高在三角形外部.

師生歸納：等腰三角形的計算問題要注意邊的分類、角的分類、三角形的分類及邊角的轉化.

問題3：如圖1所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，當△BPQ是等腰三角形時，求AP的長度.

師：當△BPQ是等腰三角形時，你認為應該怎么分析這個問題？

生6：要滿足△BPQ是等腰三角形，有三種情況：

BP=BQ，PQ=BQ，BP=PQ.

生7：由于BQ=5，當BP=BQ=5時，可得AP=3;

當PQ=BQ=5時，如圖2所示，則QG=4，可得PG=3，則AP=2.

師：BP=PQ呢？

生8：當BP=PQ時，如圖3所示，則有AP=BH=12BQ=52.

師：剛才的情形都是銳角三角形，還有其他情況的等腰三角形嗎？

生9：還有鈍角三角形，即∠BQP是鈍角的情形.

如圖4所示，當PQ=BQ=5時，有LP=3，AP=8.

師生共同歸納：等腰三角形分類時不僅要考慮邊的分類，還要注意角的分類.

變式：已知，如圖5所示，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（43，0），若點C在x軸上運動，當以點A，B，C為頂點的三角形是等腰三角形時，

請求出此時C點的坐標.

師：你是怎么考慮的？你能利用圓規在圖上畫出△ABC嗎？

學生動手作圖，大部分學生很快找出圖6中的C1，

C2，C3.

師：除了C1，C2，C3，還有其他點滿足條件嗎？

生10：還有以AB為底邊的等腰三角形，如圖7所示，作線段AB的垂直平分線，與x軸交于C4.

拓展：如圖8所示，在Rt△AOB中，AO=6，OB=8，P是線段AB上的點.當△AOP是等腰三角形時，求BP的長.

學生提出分成三種情況：AO=AP，AO=OP，AP=OP.

當AO=AP時，學生馬上求出BP=4.

生11：當AO=OP時，如圖9所示，可以過O作OH⊥AB于H，利用

面積法可以求出OH=245，再利用勾股定理求出AH=185，

則有AP=2AH=365，所以BP=145.

生12：也可以先證△AHO∽△AOB，得到AOAB=AHAO，求出AH=185，從而得到BP=145.

生13：還可以利用cos A=35，求出AH，從而得到BP.

師：非常好，這三個同學用不同的方法求出AH的長.同學們，你們認為解答這個問題的關鍵在哪里？

學生紛紛表示關鍵是作出高OH.

圖10師：等腰三角形的常用輔助線是底邊上的高線.那么當AP=OP時，怎么求？

生14：過P作PM⊥AO，如圖10所示，根據等腰三角形“三線合一”，

可以得到AM=12AO，所以AP=BP=12AB=5.

二、教學立意的進一步解讀

1.動手操作，尺規作圖回顧知識

在數學學習中，要使學生真正理解數學知識，感悟數學思想方法，培養學生的思維能力和創新能力，就需要讓學生積累豐富而有效的數學活動經驗.數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積累.尺規作圖需要將幾何定理與動手實踐相結合.演繹推理、合情推理源于動手操作，而動手操作的前提是幾何猜想.尺規作圖是手腦并用的活動，將操作與思考有機結合，能夠促進知識的內化.尺規作圖活動既有利于學生積累數學活動經驗，又能促進學生形成獨立思考、自主探索、反思質疑的良好思維品質.在幾何總復習階段，采取尺規作圖這種方式回顧舊知，能夠讓學生積累更多的活動經驗.在教師設計的問題1的引導下，學生經歷了動手“做數學”的過程，立足于整個初中階段知識復習等腰三角形的定義、性質和判定方法，從而對舊知的理解更為透徹，形成知識網絡.

2.知識建構，初步感悟分類思想

復習時，僅羅列知識點而沒有對這些知識“再建構”，學生難以對數學本質進行深刻認識和深度把握，更難以保持持久性和可遷移性.數學思想是“再建構”的靈魂，在“等腰三角形的復習”這節課中，教師通過適當增加條件將等腰三角形變為等邊三角形、等腰直角三角形等，讓學生體會從一般到特殊的思想方法.同時，教師為進一步鞏固學生對相關問題的通法通解的掌握，實現技能固化，引導學生思考添加頂角角度和底角角度的不同之處，討論添加的高在腰上或底邊上、在圖形內部或外部這些情況，滲透分類討論的思想.

3.知識生長，進一步感悟分類思想

數學思想的領悟內化需要經歷一個螺旋上升、長期發展的過程，需要教師在不同的學習內容中不斷滲透，學生只有經歷這樣不斷感悟的過程，才能逐步“領悟”出其中蘊含的數學思想.在中考總復習中，教師要注重知識的“生長點”和“延伸點”，利用一題多變、一題多解、多題歸一等方法讓學生從不同角度分析，從不同層次理解，不斷深入思考，逐步領悟數學思想.例題3的設計是應用等腰三角形邊的分類計算，同時還需注意頂角的分類.在解決問題的過程中，教師要培養學生的空間觀念，發展學生的推理能力，滲透分類討論思想.變式的設計是例題的延續，同樣邊的分類為腰或底，還需注意頂角的分類.同時還涉及尺規作圖，讓學生在動手操作中理解等腰三角形的性質.以AB為底邊的等腰三角形是本題的難點，再次讓學生感悟等腰三角形的本質就是軸對稱圖形，進一步發展學生的推理能力，滲透分類討論思想.學生即將中考，需要挑戰中考題.在解決問題的起點，學生已經能很好地考慮等腰三角形分類的情況了，教師要放手給學生一定的空間和時間解決問題.解答后讓學生思考并點明等腰三角形的輔助線的常用做法.本題解決方法多樣，學生從不同角度分析，不斷深入思考，逐步“領悟”分類討論這一數學思想.

三、結 語

中考幾何復習課堂教學主要以上述兩個環節為主.數學思想重在“悟”，在數學活動中“悟”，在知識的“再建構”中“悟”，在知識應用中“悟”.經歷這樣的過程有助于培養學生的思維能力，有助于發展學生的數學素養，更有助于學生深刻領悟數學思想.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.