靈活運用教材，緊抓學科核心素養培育す賾凇耙淮魏數的應用（1）”的教學設計思考

潘正剛

【摘要】對學生的數學學科核心素養的培養貫串于教學的全程，教師只有充分了解學生的認知發展水平和已有的知識基礎，清晰掌握課堂教學目標，才能設計出高質量的教學活動.本文筆者以北師大版數學八年級上冊第四章第4節“一次函數的應用（第1課時）”的教學設計為例，與其他初中數學教師共同探討如何讀懂課標、整合教材、分析學情，科學地設計出一堂高質量的初中數學課，使學生在課堂學習中有效提升自身的數學學科核心素養.

【關鍵詞】函數圖像;數學建模;應用意識;數形結合

本文以北師大版數學八年級上冊第四章第4節“一次函數的應用（第1課時）”教學設計為例.此課在初中數學教學中非常關鍵，既是難點，也是重點，這一節課將為學生開啟應用數形結合、數學建模這些具有數學特色的思維模式.

一、教學難點剖析

1.學生的困難

“一次函數的應用”這一章的教學內容作為研究函數的起始單元，每一節課都為后續學習反比例函數和二次函數打下基礎.“一次函數的應用”是學生利用函數進行數學建模的起點，也是學生體悟數形結合思想的重要關卡，是學生搭建數學與外部世界聯系的開始，從中可以讓學生初步理解數學在理工科中應用的基本工具.因此，“一次函數的應用”是發展學生的應用意識，培育學生數學建模核心素養的關鍵課程.

2.教師的困惑

在教學實踐中，使用北師大版教材的教師常常困惑于“學生在不會求解二元一次方程組的情況下，如何求解一次函數解析式”這一問題.基于自身已有的思維習慣和相對完整的知識系統，部分教師會調整教材的章節順序，先進行“二元一次方程組”的教學，以利于學生求解一次函數解析式.

二、教材對比分析

筆者對目前國內主流的北師大版教材、人教版教材這個知識點的教學內容進行對比分析，發現北師大版教材中，“一次函數的應用”為獨立課程，出現在八年級上冊，有三個課時，第一課時借助解析式解決實際問題，后面兩課時主要借助圖像解決實際問題，學生在學習過程中初步體會數形結合的思維方式，發展利用數形結合解決問題的能力.此時學生已經學習了一元一次方程、一次函數等相關知識，有了一定的數形結合思維，為求解一次函數解析式提供了理論基礎.本課時有兩個難點：一是將實際問題抽象為函數問題，建立一次函數模型;二是求解一次函數解析式，由于“二元一次方程組”被編排在第五章，學生對用代數方法求解函數解析式難以理解.對此，部分教師將“二元一次方程組”提前教學，這是解決問題的一個辦法.

與北師大版教材相比，人教版教材有兩點不同的設計：一是設計以“一次函數的應用”為題的獨立課時，二是“二元一次方程組”的內容在一次函數之前.

盡管兩種教材在內容編排的先后順序上有所不同，但都以解決現實問題為出發點，突出函數的模型思想和數形結合思想，發展學生數學建模的核心素養.實際上，學生普遍善于學習程序化的知識，對不同題型的解題邏輯較易上手，能較好地掌握一次函數中“數”的特征，但是對于函數圖像卻不甚理解.

三、教學設計概述

據此，筆者設計以下教學環節.

環節一：初識數學建模

1.例題導入

圖1例1 隨著中國高鐵建設的飛速發展，廣州市作為華南地區的交通樞紐，由廣州出發的高鐵列車幾乎可以直達全國各大重要城市.圖1反映了某高鐵列車從廣州出發前往西安在行駛過程中與深圳的距離s（km）與行駛時間t（h）之間的數量關系（假設高鐵列車勻速行進）.請思考：

問題1：坐標系中的點（0，120）表示什么意義？

問題2：當行駛時間為4 h時，高鐵列車和深圳的距離是多少？

問題3：兩個變量s和t具有函數關系嗎？你能求出函數解析式嗎？

問題4：當t=8 h時，s的值是多少？當s=1440 km時，t的值是多少？

【設計意圖】北師大版教材的設計是求解正比例函數解析式，所創設的情境是物體“勻加速直線運動”實驗，該活動是高一的物理實驗，初二的學生既沒有實驗經歷，也不理解 “加速度”的概念，欠缺與之相應的活動經驗和認知水平，這個情境設計會讓學生感到困惑，難以建立函數模型.基于熟悉的情境、合適的問題有助于調動學生的學習積極性，激發學生的探究欲望.因此筆者舍棄了這個實驗情境，一是從人教版教材中選用了路程問題的情境，并改編為學生更為熟悉的高鐵情境，二是將北師大版教材中呈現的正比例圖像改為一次函數圖像，提升難度.

“問題1”引導學生觀察兩個特殊的點，學生理解并解釋點（0，120）的含義：出發時，高鐵列車與深圳的距離為120 km，這是廣州、深圳兩地之間的距離.

“問題2” 沒有按照教材的設計明確要求學生求解函數解析式，而是鼓勵學生自行尋找解決問題的方法.學生可以建構函數模型，也可以用算術方法求解，從而為對比算術方法和函數方法創造機會.

基于“問題1”和“問題2”的解決，學生產生了用函數解決問題的意識，“問題3”則引導學生從圖形的角度思考，將直線與一次函數聯系起來，從而建立函數模型，學習用待定系數法求解一次函數解析式y=kx+b.鑒于解二元一次方程組是下一章的內容，本課所研究的一次函數的某個參數（k或b）比較容易從所給的條件中直接獲得，再求解一元一次方程即可.學生利用函數解析式求解“問題4”可以積累將函數轉化為方程的經驗，進一步感受自變量和因變量的對應關系，體悟函數中蘊含的動態的辯證思維.

2.想一想

（1）一次函數解析式中k的實際意義是什么？b的實際意義是什么？

（2）確定一次函數的解析式需要幾個條件？

數學家阿蒂亞指出：“代數中，有序思維占主導地位;幾何中，視覺思維占主導地位.”通過“想一想”，引導學生從數的角度思考、理解k表示高鐵列車的速度，b表示出發時高鐵列車與深圳的距離.從形的角度看，（0，b）是一次函數圖像與y軸的交點.讓學生體會到“兩點確定一條直線”的公理是求解一次函數解析式的理論依據.

環節二：再識數學建模

1.例題導入

例2 攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）是兩大國際主流的計量溫度的標準.某學校科技小組查閱資料，獲得了攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）相對應的5組數據如下表所示：

請你根據表中數據猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關系，并推測當攝氏溫度為100 ℃時，華氏溫度是多少.

（1）以攝氏溫度為橫坐標、華氏溫度為縱坐標，將5組數據寫成5個點的坐標;

（2）建立平面直角坐標系，描出以上5個點;

（3）觀察這5個點的位置，猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關系，并求出關系式;

（4）根據猜想，求出當攝氏溫度為100 ℃時，華氏溫度是多少.

【設計意圖】培育數學建模的核心素養至少有兩個方面的要求，一是培養學生數學建模的意識，二是讓學生掌握數學建模的具體方法.原北師大版教材的設計指明了一次函數，注重講解用待定系數法求解函數解析式.為了繼續培養學生數學建模的意識，筆者首先在設問中去掉一次函數的指示，然后修改表格中的數據使其缺乏連續性，并設計作圖的要求，學生通過繪制圖像、觀察圖像，更容易聯想到一次函數.計算中，學生是否能避開解二元一次方程組的困難，則取決于他們在分析表格中的數據時，能否理解（0，32）的代數意義.

2.想一想

（1）k的實際意義是什么？b的實際意義是什么？

（2）確定一次函數的表達式需要幾個條件？

【設計意圖】在不同的情境中運用類似的方法得到相同的函數，學生會有更多收獲：

（1）讓學生從數的角度深刻理解k的實際意義，當x增加1時，等于b增加的值為k，這為第三課時進一步探究k的幾何意義積累經驗;

（2）讓學生從形的角度理解點（0，b），它作為一次函數圖像與y軸的交點，是求解函數解析式的關鍵;

（3）學生對數學基本概念和基本原理有進一步的理解：從形的角度看，正比例函數和一次函數的圖像雖然都是一條直線，但不同之處在于正比例函數圖像必定經過原點，因此只需再任意確定一個點的坐標便可求解函數解析式;從數的角度看，一個是求解關于k的一元一次方程，另一個則是求解關于k和b的二元一次方程組.這個知識點雖然簡單，但它涉及數學對象的一個重要本質概念：基本量.正比例函數含有一個基本量k，一次函數含有兩個基本量k和b.學生若能形成這樣的數學思維方式，必將加深其對數學對象的理解.

在環節二的教學活動中，學生完整地經歷了分析問題、作出圖像、分析圖像、建立模型、求解模型、應用模型的過程.

環節三：加深認識數學建模

例3 某養雞場使用恒溫室孵化小雞，該恒溫室在0：00時的溫度為20 ℃，根據養殖要求需在0：00-2：00勻速升溫，每小時升高9 ℃，隨后在2：00-4：00保持恒溫.寫出孵化室的溫度T（單位： ℃）關于時間t（單位：h）在0：00-4：00時間段的函數解析式，并畫出函數圖像.

【設計意圖】本題改編自人教版教材的練習題，原題的情境為先恒溫后升溫，現改為先升溫后恒溫，以降低學生求解一次函數解析式的難度.設計該題的目的是借助簡單的分段函數拓展一次函數的應用，積累觀察函數圖像的經驗，提高學生數學建模的意識，讓學生深入體會數學建模的應用性和實用性.

四、教學反思

1.理解課標、靈活運用教材是提高教學質量的前提

《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求學生初步學會在具體的情境中從數學的角度發現問題和提出問題，并綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力.

“一次函數的應用”這節課的意義在于對一次函數模型的解釋、應用與拓展.本課的教學目標是讓學生經歷分析實際問題中兩個變量之間的關系，掌握建立一次函數模型的方法，初步形成用函數的觀點認識現實世界的意識.學生不僅要掌握一次函數y=kx+b的代數結構，還要能從“數”的角度揭示k和b的實際意義，并從“形”的角度理解它們的幾何意義.

2.分析學情是教學成功的關鍵

2018年國家義務教育質量監測結果顯示，全國八年級學生在數學學業五個指標（運算能力、空間想象力、數據分析能力、推理能力、問題解決能力）上處于中等及以上水平的比例分別為 82.6%，80.0%，78.4%，82.2%和71.8%.其中，比例最高的是運算能力，比例最低的是問題解決能力.有理數和整式的運算、一元一次方程和一次函數的運算等知識已經融入學生的認知結構中.但面對實際問題時，學生往往難以聯想到適當的數學知識建模求解.為有效提升學生的問題解決能力，教師在教學中不妨減少一些方法性的指示，多一些為學生創造聯系知識和經驗的機會，讓學生經歷檢驗和對比的過程，逐步形成數學建模的意識.

3.提升學生的數學核心素養是教學的根本方向

核心素養是數學課程目標的集中體現，是學生具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在學生學習和應用數學的過程中逐步形成和發展的.本課以培育學生數學建模的核心素養為主要目標，讓學生充分經歷將實際生活問題轉化為數學問題、分析圖像中的變量關系、建立函數模型、求解函數模型、應用函數模型的過程.學生在學習中，體會數形結合的思想，形成數學建模的意識，熟悉并掌握數學建模的方法.教師需要認真研讀不同版本的教材，準確分析學情，科學合理地設計教學環節，才能有效促進學生數學思維的發展.

【參考文獻】

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