牙膏銷(xiāo)售量問(wèn)題的微分方程模型

王智峰 陳傳軍 孫豐云

【摘要】針對(duì)牙膏銷(xiāo)售量問(wèn)題，本文改進(jìn)了回歸分析模型，建立了微分方程模型進(jìn)行銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)，最后給出了靈敏度分析和穩(wěn)定性分析.

【關(guān)鍵詞】牙膏銷(xiāo)售量;微分方程模型;回歸分析模型

【基金項(xiàng)目】高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心資助（No.CMC20190408），煙臺(tái)大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助（No.jyxm2019041），山東省高等教育本科教改項(xiàng)目（No.Z2018S049）

一、引 言

在姜啟源、謝金星、葉俊編著的《數(shù)學(xué)建模》（第4版）[1]的第十章中，提出了牙膏銷(xiāo)售量問(wèn)題.已知的數(shù)據(jù)包括三部分：某廠家的價(jià)格與其他廠家的價(jià)格差，廣告投入，牙膏銷(xiāo)售量.問(wèn)題要求建立預(yù)測(cè)牙膏銷(xiāo)售量的數(shù)學(xué)模型.書(shū)中針對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖1，圖2所示，銷(xiāo)售量和價(jià)格差呈線性關(guān)系，銷(xiāo)售量與廣告費(fèi)用呈二次函數(shù)關(guān)系.

基于以上的數(shù)據(jù)分析，書(shū)中建立了銷(xiāo)售量y與價(jià)格差x1、廣告費(fèi)用x2之間的多元線性回歸分析模型為：

y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ε.（1）

其中βi，i=0，…，3是回歸系數(shù).

利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB[2]或SPSS[3]，結(jié)合已有的數(shù)據(jù)可以估計(jì)出回歸系數(shù)，得到預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量的回歸分析模型為：

y=17.3+1.3x1-3.7x2+0.3x22.（2）

分析模型（2）可知：隨著x2增大，銷(xiāo)售量y會(huì)越來(lái)越大.當(dāng)x2趨于無(wú)窮時(shí)，銷(xiāo)售量y也趨于無(wú)窮.這個(gè)顯然不符合實(shí)際情況，因?yàn)殇N(xiāo)售量會(huì)受市場(chǎng)影響，最終會(huì)達(dá)到市場(chǎng)飽和狀態(tài)，而不會(huì)趨于無(wú)窮.

二、模型改進(jìn)

隨著廣告費(fèi)用x2的增加，銷(xiāo)售量y會(huì)達(dá)到市場(chǎng)飽和量，這個(gè)變化趨勢(shì)與人口預(yù)測(cè)問(wèn)題中的阻滯增長(zhǎng)模型相似，因此，我們使用微分方程模型來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

以廣告費(fèi)用x2為自變量，價(jià)格差x1為已知的變量，銷(xiāo)售量為因變量，結(jié)合阻滯增長(zhǎng)模型，建立如下微分方程模型：

dydx2=（a+bx1）y1-yym，y（0，5.5）=7.5.（3）

其中ym代表市場(chǎng)飽和量，a，b是待定系數(shù).

根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，結(jié)合MATLAB[2]軟件可以得到待定系數(shù)a，b以及市場(chǎng)飽和量ym的估計(jì)值，因此，銷(xiāo)售量y與價(jià)格差x1、廣告費(fèi)用x2之間的關(guān)系式如下：

y=149.2e（x2（0.03+0.31x1））19.9+15e（x2（0.03+0.31x1））-15.（4）

其中ym=9.95.

利用牙膏銷(xiāo)售量模型的解析解表達(dá)式（4）式，結(jié)合已知的價(jià)格差x1、廣告費(fèi)用x2的數(shù)據(jù)，對(duì)銷(xiāo)售量y進(jìn)行預(yù)測(cè).

在圖3中，“”代表已有的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)，曲線代表將已有的價(jià)格差、廣告費(fèi)用的數(shù)據(jù)代入表達(dá)式（4）中后，計(jì)算出來(lái)的銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)值.由圖3可知，微分方程模型可以很好地描述銷(xiāo)售量的變化趨勢(shì)，并能刻畫(huà)出銷(xiāo)售量隨著時(shí)間周期變化的情況.

三、模型檢驗(yàn)

在使用模型解決問(wèn)題之前，需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)分析.微分方程模型（3）的檢驗(yàn)主要包括穩(wěn)定性分析和靈敏度分析兩個(gè)方面.首先我們根據(jù)定性分析[4]方法給出穩(wěn)定性分析.

微分方程模型（3）的右端項(xiàng)不顯含自變量x2，因此，模型（3）屬于一維自治系統(tǒng)，我們使用自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性原理進(jìn)行分析.

我們記右端項(xiàng)為

F（y）=（a+bx1）y1-yym.（5）

令F（y）=0，可得兩個(gè)平衡點(diǎn)為：

y1=ym或y2=0.

現(xiàn)分析右端項(xiàng)的一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)平衡點(diǎn)處的符號(hào)：

（1）當(dāng)x1<-ck=-0.09，F(xiàn)′（0）=a+bx1<0.

（2）當(dāng)x1>-ck=-0.09，F(xiàn)′（ym）=-（a+bx1）<0.

結(jié)合穩(wěn)定性原理可知：當(dāng)價(jià)格差大于-0.09時(shí)，銷(xiāo)售量隨著廣告費(fèi)用的增加，最終會(huì)穩(wěn)定在市場(chǎng)飽和值ym.如果價(jià)格差小于-0.09，即比別的廠家價(jià)格高很多的時(shí)候，雖然廣告費(fèi)用不斷增加，但是，最終的銷(xiāo)售量仍然會(huì)趨于0.這個(gè)結(jié)論是比較符合市場(chǎng)規(guī)律的，說(shuō)明本文建立的微分方程模型可以很好地刻畫(huà)實(shí)際情況，也克服了回歸分析模型銷(xiāo)售量隨著廣告費(fèi)用增加而趨于無(wú)窮的弊端.

然后，我們結(jié)合微分方程的解析解（4）式，進(jìn)行關(guān)于價(jià)格差x1的靈敏度分析，如圖4所示.

在圖4中，我們?nèi)〔煌膬r(jià)格差x1=[0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6]，畫(huà)出牙膏銷(xiāo)售量y隨著廣告費(fèi)用x2的變化曲線.當(dāng)價(jià)格差一定時(shí)，隨著廣告費(fèi)用x2的增加，銷(xiāo)售量會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定，到達(dá)飽和值ym.當(dāng)廣告費(fèi)用投入比較少時(shí)，價(jià)格越實(shí)惠，銷(xiāo)售量就越大.當(dāng)廣告費(fèi)用比較大的時(shí)候，價(jià)格差的作用就比較小了，銷(xiāo)售量會(huì)更快達(dá)到飽和值ym.這個(gè)結(jié)論也是符合市場(chǎng)規(guī)律的.

四、結(jié) 論

結(jié)合牙膏銷(xiāo)售量、價(jià)格差、廣告費(fèi)三組數(shù)據(jù)，本文分析了回歸分析模型的不足之處.本文根據(jù)牙膏銷(xiāo)售量最終會(huì)趨于市場(chǎng)飽和量的市場(chǎng)規(guī)律，建立了基于阻滯增長(zhǎng)模型的微分方程模型，使用已有的三組數(shù)據(jù)對(duì)模型中的未知參數(shù)進(jìn)行了點(diǎn)估計(jì)，得到牙膏銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)模型.本文最后對(duì)模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和靈敏度分析，得到模型是符合市場(chǎng)客觀規(guī)律的結(jié)論.

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]司守奎，孫兆亮. 數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用：第2版[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2015.

[3]周靜. SPSS在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用實(shí)例[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2012，14（11）：93-96.

[4]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2014.