基于康奈爾筆記法的Nyquist判據(jù)教學(xué)方法研究

王立國， 劉 麗

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，化工與化學(xué)學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

自動(dòng)控制原理課程中的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)是美國Harry Nyquist于1932 年提出的用于確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種圖形方法［1-3］。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的貢獻(xiàn)突出在兩方面［4-8］：①從時(shí)域到頻域，解決了微分方程模型的復(fù)雜求解問題；②應(yīng)用開環(huán)傳遞函數(shù)分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低了求解的維數(shù)。但由于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)需要根據(jù)s平面上奈氏圖與（-1，j0）點(diǎn)的包圍關(guān)系來進(jìn)行定量分析，會(huì)對(duì)初學(xué)者造成如下困惑［9-10］：①在（-∞，＋∞）內(nèi)奈氏圖與實(shí)軸多次相交時(shí)難以把握環(huán)繞次數(shù)；②當(dāng)奈氏圖從無窮遠(yuǎn)處開始時(shí)，起點(diǎn)與終點(diǎn)間如何構(gòu)成封閉曲線難以判斷。教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用誤判，亟待探究一種易于理解的Nyquist判據(jù)教學(xué)方法。

康奈爾筆記法由康奈爾大學(xué)的Walter Pauk 博士提出［9］，以Keywords（關(guān)鍵詞）、Notes（注解）及Summary（概括）為主要特征，涵蓋Record（記錄）、Reduce（簡(jiǎn)化）、Recite（背誦）、Reflect（補(bǔ)充）、Review（復(fù)習(xí)）5 個(gè)階段，故又稱為5R筆記術(shù)，目前該方法已在化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)教學(xué)與深度閱讀、英語閱讀及大學(xué)英語聽力理解中得到成功應(yīng)用［11-15］。鑒于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)機(jī)理分析的抽象性、分析對(duì)象的多樣性，應(yīng)用康奈爾筆記法建立其思路復(fù)雜的學(xué)習(xí)與求解方案尤其必要。

本文以哈爾濱工業(yè)大學(xué)-伊頓聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室為依托，針對(duì)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)教學(xué)及實(shí)踐教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等實(shí)踐環(huán)節(jié)方面進(jìn)行改進(jìn)。依據(jù)康奈爾筆記法將Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)適用的穩(wěn)定性分析進(jìn)行5R 歸納，總結(jié)為開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)分析、幅頻特性與相頻特性分析、典型環(huán)節(jié)頻率特性、逆時(shí)針環(huán)繞(-1，j0)點(diǎn)次數(shù)分析、正負(fù)穿越分析、開環(huán)Nyquist曲線不能構(gòu)成閉合軌跡分析等特定學(xué)習(xí)要點(diǎn)，注解其作用與實(shí)質(zhì)。所做工作有助于學(xué)生對(duì)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容的深入理解，教學(xué)思路構(gòu)建與具體案例相結(jié)合，促進(jìn)自動(dòng)控制原理這一課程教學(xué)與國際知名院校的接軌。

1 康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線［16］展開的，是以5R為特征的集記錄、復(fù)習(xí)、自測(cè)和思考于一體的筆記方法。通過筆記本三欄區(qū)間劃分，將課前預(yù)習(xí)、自測(cè)與復(fù)習(xí)相結(jié)合，快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行課堂記錄，方便快速查找重點(diǎn)、有條理地學(xué)習(xí)、提煉內(nèi)容要點(diǎn)、有針對(duì)性地思考；康奈爾筆記法的核心在于記錄、簡(jiǎn)化、背誦、補(bǔ)充與復(fù)習(xí)。以Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)學(xué)習(xí)為背景，相應(yīng)的康奈爾筆記總結(jié)如下。

1.1 Record（記錄）

Record（記錄），在最大的筆記欄（Notes）中先進(jìn)行快速直接的記錄與收集，突出記錄對(duì)象的本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)機(jī)理與應(yīng)用條件。

（1）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本概念。如圖1 所示，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：立足于Cauchy定理之上，設(shè)P 為系統(tǒng)在右半s平面開環(huán)極點(diǎn)數(shù)、Z為系統(tǒng)在右半s平面閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)；當(dāng)ω 從-∞變化到＋∞時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G（jω）H（jω）按逆時(shí)針方向包圍(-1，j0)點(diǎn)次數(shù)為N，定義Z ＝P-N，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是Z ＝0。

（2）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的前期知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)。如圖2所示，Cauchy定理：設(shè)Ω 是復(fù)平面的一個(gè)單連通的開子集，f：Ω→ 是一個(gè)Ω 上的全純函數(shù)；設(shè)γ 是Ω 內(nèi)的一個(gè)分段可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線；無論γ是自交還是卷繞數(shù)多于1，只要γ能夠通過連續(xù)形變收縮為Ω 內(nèi)的一點(diǎn)，則滿足：

圖1 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

與G（jω）H（jω）相對(duì)應(yīng)，設(shè)F( s )為s 平面內(nèi)的函數(shù)、L 為s 平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的封閉曲線且不經(jīng)過F( s )的零極點(diǎn)；P1為F( s )位于封閉曲線L 內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)、Z1為F( s )位于封閉曲線L 內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)；N1為F( s )按逆時(shí)針方向包圍(0，j0)點(diǎn)次數(shù)，則F( s )穩(wěn)定的充分必要條件是Z1＝P1-N1＝0。

圖2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)學(xué)習(xí)的前期知識(shí)概括

1.2 Reduce（簡(jiǎn)化）

Reduce（簡(jiǎn)化），提煉重點(diǎn)，專注于從紛繁冗雜的知識(shí)信息中獲取關(guān)鍵詞、關(guān)鍵語句，提綱契領(lǐng)，以便跟上授課速度，提高課堂學(xué)習(xí)效率。Nyquist 曲線繪制規(guī)則：

（1）時(shí)域到頻域的計(jì)算基礎(chǔ)

（2）頻域傳遞函數(shù)的環(huán)節(jié)簡(jiǎn)化。如圖3 所示，式（2）～（5）可分為如下特征環(huán)節(jié)：

圖3 傳遞函數(shù)的特征環(huán)節(jié)奈氏圖

比例環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)

滯后環(huán)節(jié)

1.3 Recite（背誦）

Recite（背誦），通過重點(diǎn)與資料的對(duì)照，轉(zhuǎn)化出可以執(zhí)行的學(xué)習(xí)行動(dòng)。核心思想在于突出內(nèi)容的實(shí)質(zhì)與深度，力求精簡(jiǎn)，方便記憶。根據(jù)講義，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用準(zhǔn)則總結(jié)為如下兩種情況：

（1）奈氏圖與負(fù)實(shí)軸(-∞，0 )只有一個(gè)交點(diǎn)。① 起點(diǎn)G（0＋）H（0＋）和終 點(diǎn)G（＋∞）H（＋∞）；②與實(shí)軸對(duì)稱補(bǔ)足( -∞，0-)部分奈氏圖；③確定P，應(yīng)用Z ＝P - N 進(jìn)行穩(wěn)定性判定，其中N 為在( -∞，＋∞)區(qū)間內(nèi)G（jω）H（jω）按逆時(shí)針方向包圍( -1，j0)點(diǎn)次數(shù)； ④ 如圖4 所示， 以為終點(diǎn)、( -1，j0)為起點(diǎn)構(gòu)建矢量，然后以(-1，j0)為圓心、令所構(gòu)建矢量沿著奈氏圖（逆時(shí)針／順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)，判斷從到轉(zhuǎn)過的角度α，若α ＝n·( 2π)，n ＝1，2，…，則N ＝2n；若矢量逆時(shí)針繞(-1，j0)旋轉(zhuǎn)，則N為正、反之為負(fù)。

圖4 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用1

（2）奈氏圖與負(fù)實(shí)軸(-∞，0 )有多個(gè)交點(diǎn)。①確定起點(diǎn)G（0＋）H（0＋）和終點(diǎn)G（＋∞）H（＋∞）；②正穿越：當(dāng)ω∈ (0，＋ ∞)，開環(huán)幅相曲線（Nyquist 曲線）從s上半平面穿過負(fù)實(shí)軸的(-∞，-1 )段到s 下半平面，穿越次數(shù)定義為N＋；反之稱為負(fù)穿越，穿越次數(shù)定義為N-；③ 要點(diǎn)：ω∈ (0，＋ ∞)，穿過負(fù)實(shí)軸的(-∞，- 1 )段；( -1，0 )段穿越無效；④ 與Z ＝P -N 相對(duì)應(yīng)，此時(shí)Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)定義為Z ＝P -2 (N＋-N-)，詳見圖5。

圖5 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用2

1.4 Reflect（補(bǔ)充）

Reflect（補(bǔ)充），對(duì)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)常規(guī)有了了解后，對(duì)于開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的奈氏圖需要單獨(dú)處理，因?yàn)榇藭r(shí)奈氏圖起始于無窮遠(yuǎn)處，不構(gòu)成封閉的曲線（不滿足Cauchy 定理），此時(shí)需要補(bǔ)足積分環(huán)節(jié)造成的缺陷。

當(dāng)控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為如下形式時(shí)：

由于系統(tǒng)中含有v 個(gè)積分環(huán)節(jié)，奈氏圖起始于無窮遠(yuǎn)處，開環(huán)Nyquist 曲線不能構(gòu)成閉合軌跡，無法確定Nyquist曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N。

如圖6 所示，需要先把開環(huán)幅相曲線補(bǔ)為封閉曲線，方法是從原開環(huán)幅相曲線的ω ＝0＋這一點(diǎn)，逆時(shí)針補(bǔ)畫半徑為無窮大的v ×90°圓弧，并用虛線表示；即一個(gè)積分環(huán)節(jié)補(bǔ)90°，v個(gè)積分環(huán)節(jié)補(bǔ)v×90°。

圖6 含積分環(huán)節(jié)奈氏圖Nyquist穩(wěn)定性分析

教學(xué)過程中，體現(xiàn)的難點(diǎn)在于，補(bǔ)足v ×90°后，學(xué)生不清楚后補(bǔ)曲線的方向性，此時(shí)最簡(jiǎn)捷的方向判定方法就是令后補(bǔ)曲線的方向與原奈氏圖方向一致，而且只分析ω∈(0，＋∞ )這一部分奈氏圖。

1.5 Review（復(fù)習(xí)）

Review（復(fù)習(xí)），Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在筆記中主要突出頻域分析、奈氏圖繪制、不同情況下的Nyquist 判據(jù)表現(xiàn)形式等，核心在于總結(jié)關(guān)鍵詞，提煉應(yīng)用準(zhǔn)則、濃縮要點(diǎn)。與式（18）相對(duì)應(yīng)（n個(gè)極點(diǎn)、m個(gè)零點(diǎn)）。

1.5.1 頻率特性

涵蓋幅頻特性與相頻特性，其中實(shí)頻特性與虛頻特性分別表示如下：

1.5.2 繪制奈奎斯特圖

如圖7 所示，核心問題：① ω→0＋時(shí)，低頻段從何處出發(fā)？②ω→＋∞時(shí)，高頻段以何種姿態(tài)收斂？③在ω為何值時(shí)穿越實(shí)軸和虛軸？④ 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為多少？給出每一點(diǎn)處的幅值與相角。

（1）ω→0＋時(shí)，低頻段的表達(dá)式為：

ω→0＋時(shí)，滿足表1 所示計(jì)算數(shù)據(jù)。

表1 不同數(shù)量積分環(huán)節(jié)的出發(fā)點(diǎn)幅值與相角分析

（2）ω→＋∞時(shí)，高頻段幅頻和相頻特性為：

滿足如下規(guī)律：①n -m ＝1，曲線沿負(fù)虛軸向原點(diǎn)收斂；②n - m ＝2，曲線沿負(fù)實(shí)軸向原點(diǎn)收斂；③n-m ＝3，曲線沿正虛軸向原點(diǎn)收斂。

圖7 所示是對(duì)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的圖形總結(jié)，可解決學(xué)生對(duì)起始于無窮遠(yuǎn)處奈氏圖畫圖、補(bǔ)足全圖及穩(wěn)定性分析的困惑，簡(jiǎn)單直觀、易于理解。

圖7 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)準(zhǔn)則總結(jié)

2 實(shí)例分析

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試用奈奎斯特判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

應(yīng)用康奈爾筆記法求解過程如圖8 ～11 所示。

圖8 所示為時(shí)域到頻域、起點(diǎn)到終點(diǎn)的計(jì)算過程；圖9 所示為奈氏圖與實(shí)軸交點(diǎn)的計(jì)算過程；圖10 ～11分別展示了如何將起始于無窮遠(yuǎn)處的奈氏圖補(bǔ)足及應(yīng)用Z ＝P -N及Z ＝P -2 (N＋-N-)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的具體過程。與圖1 ～7 相對(duì)應(yīng)，借助于康奈爾筆記法，此實(shí)例可將Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用過程系統(tǒng)、直觀地展示給學(xué)生。

圖8 Nyquist頻率特性分析

圖9 奈氏圖相關(guān)繪制過程

圖10 應(yīng)用Z ＝P-N方法的Nyquist穩(wěn)定性分析

圖11 應(yīng)用正負(fù)穿越方法的Nyquist穩(wěn)定性分析

3 結(jié) 語

基于康奈爾大學(xué)筆記法思想，將其與自動(dòng)控制原理教學(xué)中的Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)有機(jī)結(jié)合，建立機(jī)理分析、繪制規(guī)則、穩(wěn)定判據(jù)與康奈爾大學(xué)筆記之間的邏輯教學(xué)體系，突出記錄、簡(jiǎn)化、背誦、補(bǔ)充與復(fù)習(xí)5 個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)方法的改進(jìn)；以哈爾濱工業(yè)大學(xué)-伊頓聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室為依托，提出了具有電氣工程教學(xué)特色的康奈爾大學(xué)筆記法思路。2018 年，將康奈爾大學(xué)筆記法思想融于自動(dòng)控制原理雙語教學(xué)中，突出圖1 ～7 所示的教學(xué)體系模式，取得了較為理想的授課效果，15 人的大四授課對(duì)象中保研比例為93%，這在一定程度上驗(yàn)證了所提康奈爾大學(xué)筆記法教學(xué)思想的有效性。