泰勒公式在高中數學命題中的應用

孫一航 劉小輝

在各類高中數學測試題和高考題中，自然對數的底e的泰勒展開式及其變式是命題的一個重要出發點.本文簡要介紹泰勒公式和自然對數的底e，并結合例題分別呈現出利用泰勒公式進行高中數學解題的思想和方法.最后，得到融入泰勒公式的高中數學命題的一般模式，總結命題思想及體現數學素養.

評注 本題考查函數、導數、不等式、二項式定理，這是一道典型的綜合題.作為壓軸題它具備一定的難度，但究其考察的知識內容與思想方法依然是在學生的能力范圍之內.第（1）問只需套用二項式定理公式即可解答;第（2）問則需要綜合運用到求導、均值不等式和放縮、構造函數等數學思想方法;第（3）問則考察學生的二項展開式的計算和變形.同時，本題滲透了極限、收斂的思想，可以說是一道不錯的高考題.

從高觀點的角度來看本題第（2）問，我們可以發現對任意函數進行泰勒展開，只需要保證f（x）與f″（x）為非負均可得到我們要證明的結果，我們并不需要用到f（x）的具體表達式，也就是說這個結論是一般性的.命題者將一般性的結論引進到特定的函數之中，這就是命題者命題的出發點，并且得到的式子的結構整齊對稱.此題對學生來說是陌生的，跟他們之前做過的題目會有所不同，這會使學生感到困難，在考試中造成一定的心理壓力.他們通常會按部就班地將證明中所涉及的導數都求出來再去尋找下一步的解題方向，只要學生計算沒出現錯誤且會通過放縮等方法去比較兩個式子的大小，那么這道題也能解決.綜合來看，這道題沒有超出對學生的思維水平和計算能力要求，卻又給學生帶來了一定的挑戰，起到高考壓軸題的作用.

3泰勒公式在高中數學命題中的模式

從以上兩道例題的命題模式來看，我們可以看出，泰勒公式在高中數學題的命制中主要有兩種模式：

一是運用泰勒公式的特殊形式來命題.比如例1，直接利用e^x的泰勒展開式在x=1時的特殊形式來命制題目.在命題中泰勒公式只作為檢驗命題結果是否正確的工具.

二是借助泰勒公式的內涵及其結論來設計題目.比如例2，此類題目的命制需要命題者在命題時就對泰勒公式有一定的了解，從泰勒公式的一般結論出發，通過逆向推導和具體化來命制題目.通常是將泰勒展開式進行簡化和四則運算，如去掉高階導數項，或省去無窮小項來得到不等關系.

但無論是哪一種命題模式，命題者在題目命制完成后一定需要做到使題目的形式、內容以及解答，都不超出學生的已有能力.學生不需要掌握泰勒公式的知識，也不要求認得泰勒展開式的形式，利用已掌握的知識和數學思想方法便可進行解題.一道好的高中數學題，要能在學生解題的過程中體現出學生綜合運用觀察、聯想、嘗試、轉換、猜想、歸納、類比等數學發現方法初步判斷出答案的數學品質，并引導學生用綜合法、分析法、三段論等嚴格的數學論證方法來探索解答過程，尋求答案的正確性和科學性，不斷提升數學思維，發展學生的數學素養.