合理變形 柳暗花明

莊清壽

本文對2020年全國I卷理數第21題進行分析與求解，并說明該題與其它同類型試題的聯系與區別，進而歸納總結了處理含參不等式恒成立問題的方法.

點評 將原不等式通過適當的變形，發現不等式左右兩邊是同一個函數f（x）的自變量取不同值時的函數值，進而研究f（x）的性質，將“f”去掉，得到簡單的不等式.

3方法總結

由上面幾道題可以看出，處理含參不等式恒成立問題一般需要對題中所給不等式中的變量x與參數a作合理的變形（全分離，半分離，不分離）.

（1）若所作的變形是“全分離”，那么需要注意的是當x趨近某個值x₀時，含x式子的分子與分母分別趨近于0時，且最值又剛好在x趨近x₀取得，這種情況全分離就失效了，除非高考允許使用洛必達法則.例1中的解法3，雖然當x→0時，g（x）式子的分子與分母分別趨近于0，但是最值不是在x=0處取得，而是在x=2處取得，所以全分離法適用.另外采用全分離時，需要求含x式子的最值，但其往往較為復雜，最值不易求出.我們知道求函數最值的方法常用的有兩種，一種是研究其單調性，另一種是對其通過放縮（往往借助于一些重要的不等式如均值、柯西、絕對值不等式及e^x>x+1，Inx≤x-1等等），最后說明等號可以成立.

（2）若所做的變形是“半分離”，這種方法往往在選擇題和填空題中較為常用，這時通常需要畫出兩條曲線，那么需要近可能規范的作圖.

（3）若所做的變形是“不分離”，構造函數時，函數的解析式中帶有參數a.討論單調性時，往往需要分類討論，如何分類討論，或減少討論就顯得非常關鍵.常用的有取一些特殊的值代入，求出參數的可能的范圍，得出問題成立的必要條件，然后由此再作充分的論證，最終解決問題.這種方法縮小了答案搜索的范圍，排除了一些不必要的討論的環節，優化了解題過程，提高了解題的速度.