“三學”視角下類比思想的教學應用

包麗

“三學”課堂是指“學法三結合、學材再建構、學程重生成”的課堂，在筆者學校推廣多年，實踐教學效果明顯.類比思想是初中數學的一個重要數學思想，在概念課、習題課等課型中都有廣泛應用.在實踐教學中合理、巧妙的運用類比思想，有助于“三學”課堂的高效展開.

1在《分式》章節(jié)教學中，通過內容的類比，深化學材再建構

《分式》這一章是人教版教材中八年級上冊的內容，包括分式的有關概念、分式的基本性質、分式的運算、分式方程等內容.可以通過類比思想，從小學階段學過的“分數”出發(fā)，順利類比生成這章節(jié)相關知識.

師：我們生活中有很多的數量關系是用數學式子來表示的，同學們看看這些問題，是否可以用數學式子來表示？第一個問題：一個學校占地面積為12200平方米，在校學生數是3700人，你能否算它的人均占地面積？

師：怎么想到這么稱呼，和我們以前學的哪個知識類似？

生：分數.

師：所以B我們可以稱為什么？

生：分母.（板書分式的定義，分子、分母）

至此，通過與分數的有關概念類比，我們生成了分式的有關概念.人教版教材《分式》第一節(jié)就是分式的有關概念.在得到分式的有關概念同時，我們可以繼續(xù)通過與分數的基本性質類比，得到分式的基本性質.

生：第一題填1.

師：為什么？

生：因為分母由6b變形成了3b，是除以2得到的，所以考慮到分子也除以2，所以得1.

師：第二個？

生：2ab，因為分子乘以2，所以分母也乘以2.

師：第三個？

生：（a-b），因為分子除以了（a+b），所以分母也除以（a+b），所以第三個填（a-b）.

師：最后一個？

生：5b，分母乘以b，所以分子也乘以b，所以填5b.

師：同學們如何得到的？依據是什么？

生：分數的分子分母同時乘或除以一個不為0的數，分數的值不變.

師：我們現在看到的這4個式子都不是分數，是分式.怎樣變形，分式的值不變呢？分數的基本性質是“分數的分子、分母同時乘或除以同一個不為0的數，分數的值不變”.那么，對應到分式，我們可以對分數的基本性質作出怎樣的調整呢？

生：分式的分子、分母同時乘或者除以一個不為0的整式，分式的值不變.

師：很好，這就是分式的基本性質.

以上是《分式》第一課時的教學實踐.因為學生已有小學階段學習分數的經驗，由數到式，由特殊到一般，通過類比，學生比較容易掌握分式的基本知識.在第一節(jié)的學習中，通過與分數類比，不僅可以得到分式的有關知識，還可以在章節(jié)起始課中就幫助學生構建這部分知識的框架連接，完成學材再建構.學生在后續(xù)的學習中，能做到心中有框架，知道如何分析研究，可以起到事半功倍的效果.

2在《角》章節(jié)教學中，通過方法的類比，促進學法三結合

在學習《角》之前，我們已經從線段的定義、線段的表示方法、線段的比較、線段的和差、線段的中點等方面，研究了線段的有關知識.在研究線段的時候，需要有意識的強化以上幾個要點，形成知識框架，再從這幾個方面，研究角的有關知識，就可以水到渠成了.

師：前面我們已經研究了線段，大家回憶一下，我們研究了線段的哪些內容？

生：線段的中點、線段的表示方法.

師：還有呢？

生：線段的比較、線段的和差.

師：很好.今天我們開始研究一種新的圖形，角.關于角，我們在小學階段學過哪些知識呢？

生：有公共端點的兩條射線叫做角.

師：這是角的定義.其中這兩條射線叫做角的邊，這個公共的端點叫做角的頂點.根據前面研究線段的經驗，同學們想想，角需要研究哪幾個方面？同學們可以小組交流.

生：也要研究角的表示、角的比較、角的和差、角的中點。

師：有沒有要調整的說法？

生：角沒有中點，將角分成相等的兩部分的是角平分線.

師：很好.那對于這些內容，我們應該怎么研究呢？方法是不是也和研究線段的方法一樣呢？請同學們先自主學習，再小組交流.

以上是《角》章節(jié)新授課的引入部分，角和線段看上去是兩種完全不同的圖形，但他們的研究方法實際上是類似的.因為和線段進行了類比，無論是角的研究內容還是研究方法，學生都有了明確的目標，后面內容的個人學習、小組學習、全班學習效果就更好.

3在《相似三角形的判定》章節(jié)教學中，通過思維的類比，體現學程重生成

《全等三角形》是人教版八年級上冊的內容，《相似三角形》在九年級下冊.授課時，可以將這兩章思維方式進行類比.

師：請同學們回憶一下全等三角形有哪些判定方法？

生：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.

師：具體判定方法完整的敘述一下，如SSS.

生：三條邊分別相等的兩個三角形全等.

師：那SAS呢？

生：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.

師：ASA和AAS呢？

生：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等.兩角分別相等且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等.

師：還有直角三角形全等的判定方法HL，具體是什么？

生：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.

師：在研究“邊角邊”這個判定的時候，我們還討論過“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形”，這樣的三角形全等嗎？為什么？

生：不一定全等.可以畫圖舉反例.如圖1，△ABC和△ADC中，AC=AC，∠A=∠A，CB=CD，但是這兩個三角形一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形，它們不全等.

師：非常好.我們剛才花了比較多的時間和精力回顧了全等三角形的判定方法，并且舉出了“己知兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”的反例.這些內容給我們今天研究相似三角形的判定方法提供了思路.全等三角形和相似三角形有什么區(qū)別呢？

生：全等是兩個三角形形狀大小完全一樣，相似只要形狀一樣.

師：既然知道它們的區(qū)別，那么判定方法有哪些變化呢？同學們自己思考，看看能到哪些猜想.

生：全等可以用“邊邊邊”判定，也就是三條邊分別相等的兩個三角形全等.相似就不需要三條邊相等了，只要三邊的比相等.

師：他這是根據“邊邊邊”猜想出來的判定方法，還有嗎？

生：根據“邊角邊”可以得到兩個三角形兩條邊成比例并且它們的夾角相等，這兩個三角形相似.

師：根據“角邊角”可以猜想出哪種判定方法？

生：兩角分別相等的兩個三角形相似.

師：其實“角角邊”也是兩角一邊，這個邊不一定要相等，只要兩角相等就可以得到相似了.類似于直角三角形“斜邊、直角邊”的判定方法，直角三角形的相似還有什么方法嗎？

生：斜邊直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

師：同學們剛才已經通過和全等三角形的判定的類比，猜想得到了相似三角形判定方法.由三角形全等中我們強調的“兩條邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等”我們可以類比得到相似中的什么結論嗎？

生：兩條邊成比例并且其中一邊的對角相等，這兩個三角形不一定相似.

師：很好，當然這些都僅僅是猜想.接下來我們還要進一步研究這些猜想是否正確，也就是我們要嘗試證明這些命題.

在這堂課中，通過與全等三角形的判定方法類比得到相似三角形的判定方法的幾種猜想，然后證明其中的第一個，得到相似三角形的判定定理.另外幾個命題的證明，由學生課后思考，下一堂課繼續(xù)研究.實際上，研究方法仍然是類比，與第一個定理的證明方法進行類比.這樣，運用思維類比，不僅構建了完整的知識框架，而且實現思維的超越，從而體現“學程重生成”.

以上只是筆者在教學中的一點體會.利用類比的方法，數學課堂比較容易實現“學法三結合，學材再建構，學程重生成”.我們除了關注哪些知識可以用類比的方法教學外，更多地應關注在如何引導學生獨立地主動利用類比獲取數學知識和方法，從而真正達到“三學”課堂的要求.