關于“三門問題”數學建模的教學與思考

周裕燕

1“三門問題”的來源和描述

三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題，出自一檔娛樂節目.參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊.當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人事先知道門后的情況）.主持人其后會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門.問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的可能性？

2學生的思路及初步共識

這道題實際上是博弈論的數學游戲問題，學生興致很高，教師不做任何的加工和提煉，給足時間，讓學生獨立地讀題，重述問題，學生通過分析、討論，形成以下思路：

學生1：三扇門中打開任何一扇門，后面是汽車的概率都是1/3，換與不換贏得汽車的概率不變.

學生2：在主持人打開門之前，事件空間即車的位置有3種可能，參賽者有1/3的可能拿到車.當主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇的時候，這時候事件空間發生了變化，只有兩種可能，汽車要么在參賽者所選的這個門中，要么在剩下的未被選擇的那扇門中，因此換不換的概率都為1/2.

學生3：結果只有兩種可能，汽車要么在參賽者所選的這個門中，要么在剩下的未被選擇的那扇門中.如果不換，那么參賽者贏得汽車的概率不變，還是1/3，如果換的話，贏得汽車的概率應是2/3.

問題1參賽者不知道三扇門后面有什么，打開每扇門都是等可能的，選中汽車的概率是1/3.但是主持人事先知道門后的情況，主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊，在這種情況下，剩下的兩扇門，換與不換選中汽車的概率是否還都是1/3？

問題2在主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，參賽者換與不換選中汽車的概率是否等可能？

學生4：不是等可能的.參賽者是事先就作出了選擇，不換的話，贏得汽車的概率還是1/3;因為汽車一定在剩下的兩扇門后面，所以換的話，贏得汽車的概率應是2/3.

經過分析、辯論，達成初步共識：在初始狀態，每扇門后有車是等可能的;若主持人打開門是隨機的，剩下的門就保持等可能性，若主持人打開門不是隨機的，等可能性可能被打破.

3實驗驗證

教師指導1：三門問題實際上是一個關于決策和博弈的認知問題，在這個擁有信息相對較多的博弈和推理過程中，用頻率進行推理優于用概率進行推理.在重復博弈的場合，采用符合直觀的、自然的頻率來推理比采用概率來進行推理更為恰當，更適用.現在設計一個實驗，通過實驗，計算得到“汽車”的頻率來進行推理.

設計實驗：我們用3張完全相同的卡片代替三扇門，在3張卡片上分別寫上“羊”“羊”“車”，并將有字的那面倒扣在桌面上.三人一組，一人為參賽者，一人為主持人，一人記錄，總共16組，其中8組的參賽者選擇換，另8組的參賽者選擇不換，每組做100次實驗，各組記錄拿到寫有“車”字樣卡片的頻數.

學生實驗結束后，根據數據，由學生分別計算選擇“換”與“不換”的頻率.

學生5：我們選擇“不換”的小組，拿到寫有“車”字樣卡片的頻率約為33.5%.

學生6：我們選擇“換”的小組，拿到寫有“車”字樣卡片的頻率約為66.%.

問題3從統計的數據中我們發現前面哪位學生的結論相對比較可靠？

學生7：因為33.5%比較接近1/3，66.3%比較接近2/2，感覺學生4的結論比較可靠.

學生自己的動手實驗，或信息技術開展數學實驗、采集數據，并通過數據分析，用頻率估計概率，進行驗證，得出結論，體驗數學實驗的魅力.

4利用模型解決問題

教師指導2：要解決“三門問題”，必須要有準確信息：三扇門中只有一扇門的后面有汽車，其余兩扇門的后面都是山羊;汽車事前是隨機地被放置于其中一扇后面;參賽者事先不知道門后面是什么，他在三扇門中隨機選擇一扇;主持人知道每扇門后面是什么;如果參賽者選擇了一扇門后有山羊的門，主持人必須選擇打開另一扇門后有山羊的門，如果參賽者選擇了門后有汽車的門，主持人必須隨機在另外兩扇門中選擇一扇;參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一扇門.我們假定參賽者選門1，主持人從剩余兩扇門中選擇一扇門后不是汽車的門打開，主持人問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門.

4.1枚舉法

問題4什么是古典概型？這道題中求“換”與“不換”的概率模型是否是古典概型？如果是，應該怎么求概率？

學生8：滿足試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，且試驗中每個基本事件出現的可能性相等的概率模型稱為古典概型.

學生9：這道題中求“換”與“不換”的概率模型滿足上述條件，是古典概型，我們可以用枚舉法求概率.

因此，如果在被主持人打開的門中，門后有汽車的門所占比例小于總體中隨機選一扇門贏得汽車的概率，那么更換選擇對競賽者來說可提高贏得汽車的概率;反之，堅持原來的選擇贏得汽車的概率更高.

6總結與反思

通過對“三門問題”數學建模教學的總結與反思，筆者認為數學建模教學應注重以下幾點方面.

（1）從讀題到形成基本思路的過程中，要給學生充足的時間、思考、交流.

（2）教師要最大限度地激發學生的興趣和探索意識，要采取循序漸進的方法，由簡到繁，由易到難的順序，滲透數學建模的思想和方法，逐步提高學生對數學建模的理解和認識，從而提高數學建模成功的機會和解決問題的效率.

（3）應加強數學實驗.在數學建模中，借助計算機和數學軟件進行數學運算、證明猜想、模擬仿真、顯示圖形以及解決實際問題、探索數學規律的數學實踐活動，有利于幫助學生解決數學建模中的模型求解與數值計算等難點.

（4）教師應重視思路引導和知識拓展，提高學生將現實情境數學化的能力，深化學生對模型的理解.

數學建模是高中數學的核心素養之一，培養數學建模能力是教學的必備要求，我們要勤于實踐、善于總結，不斷提煉出具體可行的教學策略，努力提升學生數學建模的意識，促進學生數學建模素養的形成，提高學生數學建模的能力，使學生善于用數學的觀點去分析和解決問題，使數學教育的價值真正落實到了“應用”上.