大學先修課程視角下高中全概率公式的教學實踐

潘凌

1高中新增全概率公式的背景分析

全概率公式是概率論中一個非常重要的公式，概率研究和生產實踐中很多問題都涉及全概率公式.在普通高中數學教科書（人教社A版）選擇性必修第三冊中，全概率公式屬于新增同容.從知識形成的順序結構和邏輯層面上分析，它是在“條件概率”概念提出的基礎上，從已知簡單事件的概率推算出末知復雜事件的概率，上聯古典概型、條件概率，涉及有限樣本空間，事件的關系與運算，概率的基本性質、獨立性;下聯二項分布、超幾何分布、正態分布，起著承上啟下的作用，是與概率的綜合運用.

高中數學中的全概率公式內容較為簡單，增設該內容的意圖在于通過全概率公式提供一種計算復雜事件概率的有效途徑，為學生二項分布奠定知識基礎，加深對隨機現象的認識和理解.學會研究概率的一個重要方法就是建立一些運算法則推算復雜事件的概率，通過構建概率模型解決實際問題，提高用概率的方法解決問題的能力.

2高中全概率公式的教學現狀

全概率公式的應用是整個概率論教學的難點.學生學習全概率公式感覺困難，主要體現在：（1）概率本身的學習障礙.概率概念抽象，對事件的不同理解可能會導致不同的結果，同時利用概率進行決策，合理的決策未必一定得到好的結果等;（2）全概率公式的理解困惑.全概率公式涉及的事件關系較為復雜，相關概念容易混淆，不易辨清，學生在事件、事件關系及運算上出現認識誤區.

上述因素，造成學生不能理解和掌握全概率公式，不能理解全概率公式的基本思想、適用范圍、基本步驟及具體運用，不能感悟其中蘊含的思想方法.

3大學先修課程

先修課程源自于美國，是指在高中階段開設、供高中生選修，其難度相當于大學初級階段學術標準與學業水平的課程，如果課程取得合格，則可作為大學入學標準，同時可獲得相應課程的學分.先修課程不單單是知識的傳遞，更是一種思維方法、一種選擇性、對學生的一種平臺的提供.在先修課程《概率論與數理統計》里有著比現行高中教科書中更豐富的內容，如果在大學先修課程視角嘗試高中數學統計與概率的教學實踐，既滿足學生升學需求的同時，也滿足學生的專業興趣和未來發展，通過實踐培養學生的好奇心和獨立思考的習慣，發展數據分析與數學建模等核心素養，有助于使高中的教育更具有連續性、延展性，為學生的后續發展奠定良好的基礎，也是高中與大學教育銜接的有益嘗試.

應該怎樣在大學先修課程視角進行全概率公式的教學呢？下面筆者結合對全概率公式的理解和教學實踐，談談教學全概率公式的體會.

4全概率公式教學的幾點做法

如上所述，全概率公式是整個概率論的難點，也是概率論這門課程中非常重要內容之一，是加法公式和乘法公式的綜合運用，它具有廣泛的實際應用價值，在醫療診斷、保險等不確定問題中有著重要的應用.那么，在教學中該如何突破這個難點呢？如何在大學先修課程視角下解決這些問題？

4.1了解公式從情境中引入

《普通高中數學課程標準（2017版）解讀》指出：數學學科核心素養是在學生與情境、問題的有效互動中得到提升的.在教學中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養，設計切合學生的實際的情境和問題.在普通高中數學教科書中，全概率公式是通過實例引導學生發現，由特殊到一般，得到P（B），P（A），P（B|A）這3個概率之間的關系.其案例為：從有口個紅球和6個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為a/a+b，那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？該案例先是通過“抽簽具有公平性”直接給出所求的概率是a/a+b，接著指出這個結果并不顯然，再給出嚴格的推導，最后啟發學生從結果中總結規律.這個發現全概率公式的過程揭示了“從古典概型和條件概型入手，回歸加法公式和乘法公式本源”，體現了“特殊到一般”的思想方法.但是這個引例會讓學生覺得比較突然，和前面所學知識有脫節，從而發現全概率公式并不自然.

實際教學中，筆者覺得可以先改編普通高中數學教科書必修第二冊第236～237頁10.1.3《古典概型》例9（下文稱案例1）：

袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，3個藍球，從中不放回地依次隨機摸出2個球.（1）A=“第二次摸出紅球”，求事件A的概率;（2）設Q為該試驗的樣本空間，記B=“第一次摸出紅球第二次摸出藍球”，B=“第一次摸出紅球第二次摸出紅球”，它們能組成該試驗的樣本空間嗎？（3）你能找到一個標準，將Q劃分成若干個互斥的事件嗎？

第（1）問可以通過圖1中的表格，可以直觀得到第二次摸到紅球的可能結果有8種（表中第1，2列），即B={（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）），所以P（B）=8/20=2/5。

第（2）問的設計意圖是使學生了解什么是樣本空間Q的一個正確的“劃分”;第（3）問的設計意圖是使學生進一步弄清樣本空間Q的一個劃分的實質就是將Q分割成若干個互斥事件，形成完備事件組，這也是先修課程在給出全概率公式之前關于樣本空間Q的一個劃分的定義.高中教學中可以不必直接體現這個定義，但在先修課程視角下設計此問題，使學生了解全概率公式成立的條件之一，進而正確地構建概率模型解決實際問題，是落實“使學生學會數學地思考”，培養了學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

在教學實踐中再講授教科書中本節的案例（下文稱案例2），從袋中具體的球個數到用字母代替具體數字.通過兩題對比，可以使學生更好地理解什么是“求較復雜事件的概率”，從而理解引入全概率公式的必要性.

4.2理解公式在數學思想上深入

在教學實踐中由于案例2是案例1的延續，因此講解案例2時應指出“第一次摸到紅球”與“第一次摸到藍球”之間是互斥必然導致“第一次摸到紅球第二次摸到紅球”與“第一次摸到藍球第二次摸到紅球”之間的互斥，從而為理解體全概率公式作知識鋪墊，即理解全概率公式中的（4）之間的互斥性必然導致{BA}之間的互斥性.實際上在先修課程中有對全概率公式的證明，雖然高中教科書中沒有該證明，但是在先修課程視角下作出的上述的鋪墊，學生對全概率公式的運算法則有著更深刻的理解，從而突破了這節課的難點.

由兩個事件相互對立，推廣到n個事件，通過兩者之間的共性，實現教學內容之間的自然過渡，體現由特殊到一般的思想，從而推導出全概率公式，突破這節課的難點.

在先修課程的視角下嘗試全概率公式的圖解法，可以將抽象的問題形象，使混沌的問題條理化，使復雜的問題簡單化，通過讓學生直觀感受到全概率公式的核心思想“化整為零，逐個擊破”.

5結束語

概率課程承擔的主要育人任務是培養學生分析隨機現象的能力，提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理以及數學運算、數據分析等素養，本節的全概率公式的發現是從“事實到定義”的數學化過程，建立概率模型，提高數學抽象、數學建模的素養.筆者在先修課程視角下把“劃分”、“完備事件組”、“全概率公式證明”、“公式的核心思想”巧妙地設計在各個問題中，以“問題引導學習”為設計理念，創設一種類似于科學研究的情境和途徑，將科學研究的方法滲透到教學的各個環節，使高中的教育更具有連續性、延展性，為學生的后續發展奠定基礎，真正達到科學教育的育人價值.