HPM 視角下的中職數學教學設計：以球體積為例

張小中

摘要：數學史融入數學教學的研究是數學教學研究的重要組成部分，以球體積為例設計說明HPM 視角下的中職數學教學設計方法并在課堂實施，過程中體現“任務驅動，做學一體”教學理念，取得了理想的效果。呼吁更多的中職數學老師在課堂中講點數學史讓課堂“活”起來，期待更多的數學史融入中職數學教學的案例出現以供全體中職數學教師共享并選擇性地使用。

關鍵詞：數學史;球體積;中職教學設計

數學史融入數學教學的研究是數學教學研究的重要組成部分，是HPM領域的重要方向之一[1]。目前有關中職數學教材雖然有所涉及數學史的內容，但無外乎屬于課后閱讀材料;筆者在與外校的同行交流中得知有關數學史內容融入課堂的教學也不是很理想。筆者作為一名中職數學教師，認為數學是一門對中職學生后續發展相當重要的一門學科，探索有效的教學方式以提高學生學習興趣，提高課堂效率，改善目前中職數學教學現狀是每一個中職數學教師的責任。目前有關數學史在數學教學中的運用方式各學者提法不一，筆者認為作為對教學方法的實踐者，應綜合靈活運用。下面以球體積的設計和實施為例，說明HPM視角下的中職數學教學設計方法，拋磚引玉，期待有更多的案例開發為以后的數學課程建設提供借鑒。

在目前的大多數中職數學教材中僅對球的有關概念作簡單闡述后就直接給出球的體積公式，筆者認為該知識點的給出忽視了古人推導其公式的思想和社會背景，對數學的文化功能（徐利治語）挖掘有失欠缺。

1.球體積推導歷史及其重構

球的體積公式推導，這經過了很長時間的探索。生活在古希臘的阿基米德，我國古代的劉徽、祖沖之，還有印度的婆什迦羅等對球體積的求法是不一樣的。在數學史上比較典型的有阿基米德用杠桿原理建立了球的體積與圓柱，圓錐之間的關系推導而出，之后他又用歸謬法證明了這一發現。為此，后人在他的墓碑上刻“一個球和外切圓柱”圖形，可見球的體積公式是阿基米德生前的得意之作。但其推導過程對于中職生來說略顯繁瑣，在課堂中對阿基米德的探索過程的話題作為激發學生探索新知的話題，課后跟有學習能力的學生繼續探討，以進一步拓展他們的思維空間。在我國，對球體積公式的探索也很早，在東漢以前，人們實測變長為1寸的的黃金立方體和直徑為1寸的黃金球的重量，前者為16兩，后者為9兩。由此得出球近視體積公式： ，在我國《九章算術》中記載的也為該公式[2];之后魏晉時期我國杰出的數學家劉徽對該公式提出質疑，并運用自己的智慧提出了一個自然界不存在的“牟合方蓋”，證明上述公式的錯誤，劉徽試圖求出“牟合方蓋”體積以得到球積，但他沒有解決“牟合方蓋”的球積問題;過了兩百多年，祖沖之和他的兒子祖暅。祖氏父子繼承了劉徽的思路，即從計算“牟合方蓋”體積來突破，他們把眼光轉向立方體切除“牟合方蓋”之后的那部分的體積。但關于“牟合方蓋”以及祖暅構造的“倒立陽馬”中職學生理解也有困難，所以本節的教學設計關鍵是利用祖暅原理構造一個體積可求的符合原理的構造體，此法雖然不是祖暅的的推證，但該法體現了他的推導思想，可看成“歷史的再現”。

2.球體積公式推導的教學設計

2.1課題的引入

阿基米德生平簡介，其死后墓碑上刻有“圓柱容球”圖形，他得出：圓柱的體積與球體積之比、圓柱的表面積與球體的表面積之比都為 。[3]他對球體積的推導是怎樣的？激發學生學習本節課的興趣。

提問：古人為什么用不直接測量球的有關量來推導球體的公式呢？假如你不知道球的體積公式，你又有什么方法得出球的體積為多少呢？

以上設計意圖為教會學生分析問題需要分析當時的時代背景，看待問題需客觀辯證，學生在以往的語文課本中學習過曹沖稱象的故事，簡接的化歸思維在生活中處理問題非常重要，引導學生進行討論，由此引入球體積公式的推導。

2.2球體積公式推導

首先以實驗來感性把握球的體積：取一個半徑為R的半球，再各取一個底面半徑與高都是R的圓柱桶和圓錐.先把圓錐放入圓柱桶內，再將半球里面裝滿細沙，把這些細沙倒入圓柱桶內，這時圓柱桶恰好裝滿.（見圖1），這個實驗給我們什么啟示？

很明顯，學生能得出如上圓錐體積與半球體積之和為底面半徑與高都是R的圓柱體積。

以上的實驗操作緊扣“任務驅動，做學一體”的教學理念，對中職學生尤其重要。數學知識來源于生活，應用于生活，實踐操作不僅僅停留在工藝實習的操作中。現代教學理論和實踐指出：教師應該是教學過程的設計者、引導者、合作者、促進者、評價者;教師的教學過程應該是一種創造性的過程，學生應該是在教師的引導下的積極參與者;課堂教學應該關注學生的參與度，培養其創新意識和實踐能力。中職學生主觀能動性的培養需全體教師群策群力，共同關注。

有以上感性認識球的體積做鋪墊，我們以祖暅原理為預備知識定量推導球體積公式：冪勢既同，則積不容異。“勢”即是高，“冪”是面積。即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。借助多媒體演示介紹祖暅原理，展示我國古代數學成績，可以激發學生民族自豪感。

其實該原理在初中階段已經滲入，如圖2（1），若 ，則 。在幾何中“點動成線，線動成面，面動成體”，兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那么這個距離上就有無數個點，過一個點，可以畫出一個平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點的數量相同。有無數個截面，同一高度每兩個幾何體的截面上的點的數量相同，則說明，這兩個幾何體所擁有的點數量相同，那么也就是說，它們的體積相同。如圖2（2）我們可知三柱體體積相等，對于中職學生盡量用通俗易懂符合他們原先認知能力的語言來理解祖暅原理。

要利用祖暅原理推導球的體積，關鍵是尋求構造一個體積可求的符合原理的條件參照體，這樣的參照幾何體好不好找呢？引導學生，祖暅原理為探求的過程提供了一個目標：首先這個參照幾何體的體積是可求的，其次把該幾何體與半球在兩平行空間放置它在每個“高度”的的截面積與半球在每個“高度”的截面積應該是相等的。那么，我們首先把半球水平放置，截一截面。（如圖3）

中職學生對抽象的字母比較難理解，在題目中字母出現一多，在運算的過程中他們難免心浮氣躁，所以在此我們不妨把截面距水平的距離先設置為特殊的1，求截面的面積，我們首先需要求其半徑，由圖3可直觀得出： ，從而 ，該形式很容易使人想到外圓半徑為 ，內圓半徑為1的圓環面積，由于有以上實驗結論，我們很容易聯想到與半球在同一水平空間的半徑為 的圓柱體和倒置圓錐。（如圖4）

對于構造參照幾何體的過程，可引導學生思考先尋求一個或多個與半球體積相等的已學的易求幾何體體積，這樣有助于培養學生發散性思維和創新精神。

由圖4可得在圓柱體中 ，所以 為等腰直角三角形，所以 ， ，對此，我們思考，假如截面距地面距離為 呢？是不是一樣成立呢？

答案是顯然的，由此我們根據祖暅原理得到半球的體積等于（如圖4）圓柱體積與倒立圓錐之差。

有特殊到一般有助于培養中職學生的自信心以及增強他們參與教學的興趣，在此過程中，引導學生的思維層層推進，最終體現“歷史的再現”，他們能體會到成功的喜悅。

3.課堂實施及課后訪談

課堂中學生表現出很強的求知欲，課堂氣氛活躍，與未進行該教學設計的班級相比課后作業完成情況明顯偏好。學生對公式的記憶非常熟練，有被問住一下答不上的同學也不慌不忙，能畫出一倒置圓錐于柱，然后大體積減小體積即為球體積的一半。對球體積公式的鞏固例題及練習如下：

例1.若機械加工車間要加工某個球體零件，現有一段長底半徑為5cm，側棱長10cm的實心圓柱鋼，試問怎么樣加工才使得加工鋼材料得到最大限度利用？需要廢棄掉多少鋼材？（鋼的密度為7.85 ）

解：該題要使得鋼材料最大限度利用加工完美的球體，即使得球內切與圓柱體即可（如圖5）。

例題鞏固：若機械加工車間要利用現有的半徑為5cm球體加工某個圓柱體零件，試問怎么樣加工才使得加工鋼材料得到最大限度利用？需要廢棄掉多少鋼材？（鋼的密度為7.85 ）

數學史的融入喚醒了他們的應用意識，課堂完成度較好。作為教師，選取符合學生認知的數學史知識展示知識形成和發展過程，為學生提供了感受數學文化和體驗學習過程的機會，使學生在數學學習活動中獲得新知，培養能力，發展情感是為新課程標準課程理念的要求[4]。課后還有些學生提出了球的表面積怎么求，是不是可以像前所學柱體等一樣展開，對此，教師設問球表面能展開成規則的平面圖形么？然后引導性地告訴他們球體表面積需要運用到極限思想分割球體表面然后看成是錐體底面（如圖6），類比在求圓的面積公式中無限分割組成矩形求面積。大部分學生能理解且運算得出球的表面積公式。學生通過學習球的體積公式能“數學式地思考”球表面積問題，體現了HPM視角下的教學設計實施中貫徹了“教”為“學”服務的原則。

至此，本節內容把球的體積與表面積公式完美地聯系在了一起，從而能解釋本節內容書本一開始就“莫名其妙”展示的阿基米德所發現的“圓柱容球”比例問題。

4.結論

從中職學生數學基礎現狀出發，關注學生的認知水平和學習動機。本節HPM視角下的球體積教學產生了理想的效果，受到了學生的喜愛。建議市教委在市級教研活動或市級培訓中邀請數學史專家對中職數學教師進行數學史教育培訓，并把此作為一項常態化工作;呼吁更多的中職數學老師在課堂中講點數學史讓課堂“活”起來，期待更多的數學史融入中職數學教學的案例出現以供全體中職數學教師共享并選擇性地使用。

參考文獻：

[1]汪曉勤，張小明.HPM 的研究內容與方法[J].數學教育學報，2006，15（1）.

[2]單墫.數學名詞詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002.

[3]康士凱、王海平主編.中等職業學校試用本數學[M].高等教育出版社，2015.

[4]上海市教育委員會.上海市中等職業學校數學課程標準[M].華東師范大學出版社，2015.