撐一支長篙，向著詩和遠方前行

摘?要：鑒于對學生核心素養的要求以及現階段小學初中各自為陣是常態，而中小學階段使用教材差異可能也會導致小升初后學生的各種不適應，平穩有序自然地實現中小學數學過渡仍是亟待關注的重大課題。文章從教材比對、開展前測、進行實施三方面，加強對學生各種數學思想的滲透和能力的培養，淺談些許有待商榷的想法。

關鍵詞：中小數學銜接;教材比照;思想滲透;能力提升

在核心素養是對學生橫向的全面發展與縱向的可持續發展的多向要求的研究背景下，教師學會用發展的眼光培養發展中的人，便是一份責任與擔當。因此，平穩自然地過渡不同學段的教學則是每個教師應當關注的重要課題。多年來，中小銜接問題一直是數學教育上的難題。目前，雖有部分實驗區嘗試九年一貫，大一輪或打破界限式輪崗，雖有一定的實效，但小學初中獨立建校仍占絕大多數，小學初中各自為陣是常態，互相推諉也存在。形式上的銜接一貫只是淺層，教師如何整合二、三學段知識思想方法，實施孕伏式教學才是關鍵所在。畢竟從之前的獨立設定大綱到新課程標準，通盤考慮九年總體目標，整體性體現毋庸置疑。從之前的初一初二初三到如今的七八九年級，稱呼上的變化也算是一種整體聯系的體現。

我校位于農村最偏遠鎮，初中與小學僅隔一條馬路，也在鎮輔導學校的組織下，開展過七年級教師進六年級課堂的活動。但畢竟只參與了一節課，后續工作也沒有及時開展和深入，效果只能說一般。

綜合上述種種考慮，加之對小學（人教版）和初中（浙教版）不同版本教材的多方面綜合比照以及多年的教學實踐經驗，在中小數學銜接中略發如下幾點不成熟的想法，有待商榷。

一、 準備階段

（一）教材比照

數學知識本身具有系統性和聯系性，教材的安排肯定有它的螺旋上升式考慮，目前在初中教學中仍然存在一些所謂的“想當然”“應該是掌握了”的固定思維，不加鋪墊直接引入。例如七上5.4例7，涉及六下百分數運用中的稅率、利率等，如不加引導，直接搬出公式，便是一種灌輸、生硬植入。如若了解小學教材，其實可以嘗試根據百分數的定義，提上一問：年利率1.98%是指（?）是（?）的1.98%，進而變形即可。盡管植入教學似乎很快捷，但明顯知其然亦知其所以然更能促進數學能力的發展，更具價值。

因此，初中教師十分有必要提前知曉：有無涉及，具體滲透程度，表述是否存在差異。以七上部分為例。

1. 負數出現在六下第一塊知識點，與七上第一章聯系緊密。均以幾個城市的氣溫作為情境引入，而其中先出現正數，再負數，也方便對具有相反意義的量的理解。

2. 有理數的概念尚未接觸，但分類中，整數的進一步分類和自然數的概念已有，初中教師可以適當加快進度，將時間重點安排在負分數，負小數的理解上。

3. 數軸已出現，但三要素未明確表述，相反數、絕對值有所涉及但未明確表述概念，仍需在七年級重點理解。

4. 有理數的大小比較。人教版教材較以往已刪去了正數，0，負數的大小比較。直接比較法，借助數軸比較和法則比較仍需類比介紹適用的情境并加強相關練習。

5. 第二章，初中教師完全可以以復習舊知，類比方式導入新知。

6. 用字母表示數，五上簡易方程第一課時，分猜年齡和求質量兩大塊，用字母表示數、式，數量關系，運算規律都有反映。對于“省略乘號時，一般把數寫在字母的前面”常規格式上也做了要求。簡單的合并同類項已出現，如2a+6a，但同類項概念未提。

7. 方程、方程的解、解方程定義均已出現，并與初中表述完全一致，小學是等式的性質，初中是等式的基本性質，也沒有多大影響，而“等式兩邊加上相同的式子，左右兩邊仍相等”已上升為式，為解方程做準備，移項未提及，但只要稍作提示，完全可以自然地延伸移項法則。另外，也強調了方程要檢驗這一解題習慣。

8. 線段、射線、直線是四上內容，三者端點的個數，能否延伸，表示方法均已到位，但有一點，在表示直線時，教材上只是說可表示為直線AB，對直線BA沒有提及。

9. 點到直線的距離，經過兩點可以畫幾條直線也已在課后的練習中出現，關于對頂角，雖沒直接定義，但兩條直線相交所形成的四個角通過測量發現規律有所暗示。垂直與垂足定義、垂直的表示，過直線外一點如何借助各種工具作已經直線的垂線也已提及。

初小表述上的差異性也是我們要特別關注的內容，以便初中學習時，學生注意細節，少些迷茫。如：

1. 在過直線外一點作已知直線的垂線時，小學的要求并未體現“垂線是條直線”的知識點，其實在垂足處還應該要延長，體現直線兩邊無限延伸的特性。

2. 關于π，小學基本上使用的是它的近似值 3.14，而初中階段，絕大部分還是直接保留π，不能用3.14代替。

3. 小學階段，等腰三角形有一條對稱軸，平行四邊形不是軸對稱圖形，對稱軸是折痕，又如，等腰三角形的對稱軸是底邊上的高，關于對稱軸普遍講的都是線段，另外也暫時未考慮特殊的平行四邊形。而初中階段更為嚴謹，等腰三角形1或3條對稱軸，平行四邊形不一定是軸對稱圖形，對稱軸是一條直線。

另外，有個不知是否合理的小想法。階梯價格是學生比較熟悉的生活情境，對后續學習方程、函數都有較大的引導指向作用。小學教材上用的是郵票問題，本人的想法是：可否考慮更接近學生生活的，如天然氣、出租車、飛機或火車上托運行李等收費標準此類情境似乎更帶些人間煙火味兒。

（二）開展前測

文章中的前測，就是大部分學校都會開展的小升初檢測。雖然檢測有為盡可能均勻分班尋找一定依據的目的，但最重要的還是為了考查學生的預備狀態，了解他們整體和個體的學習起點與特點，為初中教師進行針對性教學提供有力依據，更好地促進中小銜接。

前測，知識層面上，基本要覆蓋課程標準第二學段中的二級內容項目。考慮到小學和七年級內容以數與代數為主，所以相對分值上要占大比例，尤其要突出緊密相關區塊，即文章之前已整理的內容。

能力層面上，以解釋與交流的能力為重點，通過舉例或畫圖等方式解釋數學對象，考查學生對數學概念和數學技能是否理解為主。通俗地講便是需要具備得到結果與解釋結果的雙重能力。在前測中，經常會看到如下這樣的題目：表示34×12的意義，可以以選擇題的形式出現，那是對學生讀圖能力的考查，對四個選項中的圖形表示依次進行分析，也可以以主觀題的形式出現。比方說，可否考慮如此命題：畫圖表示34×12的過程和結果。就運算而言，很多學生都缺乏對算理的準確理解，更多仍處在死記硬背的狀態，所以這樣的題型便能真實反映情況。另外，學生可能會用線段圖或長方形等圖形，也能較好地考查學生的直觀素養與畫圖能力，畢竟杭州中考大趨勢下，對自行畫圖的能力要求越加明顯與重要。

另外，仍需指出的是，考查核心知識為主，難度要適中，若真要了解學生更高層次的能力，可適當加一些選做題，但可不計入總分內。

二、 實施階段

（一）方程思想的滲透

小學數學是在用字母表示數、式的基本上，借助等量關系引出方程，接觸方程的時間肯定沒有算式持久，不喜歡也不知道如何設未知數，找等量關系，即使看似方程30+15=x，實則仍是算式等問題普遍存在。而初中方程比例加重，可在教學中有意識地選擇一些解方程比列算式簡便的題目作為范例，如鹽水中鹽的質量分數或課本上瓶子正放與倒放其中的變與不變的等問題，進而體現方程思維的獨特性與簡潔性。重點花時間在幫助學生如何尋找等量關系以及認識其價值上，標記一些原題中的關鍵性語句，找準關系，逐漸改變學生認為方程書寫煩瑣，不知從何入手的無助感和排斥心理。其實，方程是一種順向思維，關注從條件到結論的一步步推進，而算式是逆向思維，正如此也有人會一定角度地認為算術更能反映邏輯性與嚴密性，更能訓練思維，但從方程所尋求的量與量的平衡、推演、建模，那絕對是單線思維的算術無法相提并論的。算術到方程一定是數學學習中的不可否認的進步。具體舉例：班級男生15人，女生比男生2倍少6人，求女生人數。學生采用的肯定是列算術。如果改為：全班54人，男生比女生的2倍少18人或者男生的2倍加上女生的3倍是132人或男生的3.5倍減去女生的2倍是67人，均分別求男女生人數。小學中的對應、消去、圖解、方程法都能解決，可能上述題型還算簡單，但復雜題目肯定會前路阻礙。選擇最優方案也是初中需要學會的一種技能。

在初中教學過程中，經常會發現：解方程時，學生出現兩個等號的現象，即“=7x-3x=5+7”。實際上是對等式與算式的混淆。算式中的等號是經過具體運算后逐步得到的結果，也就是第一個等號，也可以指左右雙方的等價性，反映的是兩個量之間的相等的關系，是關系的反映。其實也從另一個側面反映出：學生對算術有多么的習以為常與根深蒂固。也難怪，習慣初中思維的教師批改小升初試卷，還得好好研究其算式的意義，深表有些不適應與麻煩。（本鎮小升初命題是小學教師，批改是初中教師，也算是一種提前了解與過渡考慮）

（二）轉化思想的延伸

1. 數到式的轉化

小學階段，在學生的理解中數就是具體的，是多與少的最直接的表示。雖然高段也逐漸有式的產生，進而產生簡易方程的解法等，但固定思維依然存在，而到中學階段，明顯式比數更頻繁與難理解。從數到式，是初中學習過程中的第一個轉折點，從具體的數到認識更加抽象的代數式，是一種飛躍，而更深層次的認識還在于從純粹的具體運算過渡到代數式的形式運算。初中教師要充分挖掘學生在小學高段的思維能力，并在實施階段有效應用。再觀小學教材，“用字母表示數”可按遞進式的脈絡展開教學。首先，字母可以表示任意的數，如乘法結合律，分配律中的字母可取任意數，并且能使運算律簡潔明了。其次，字母表示不確定但有范圍的數，如將若干個球放入一個不透明的袋子中，球的個數不知道，只能用字母表示，但由于袋子的容量有限，所以這個不確定的字母便有它的隱含范圍。這是對函數中變量范圍的準備。再次，用含字母的式子表示數量關系，比如圓的面積公式，圓柱的表面積和體積，也要嘗試從文字表述轉化為含有字母的式子表示，不僅簡潔，更是思維的適當提升。同時教師也可以讓學生慢慢明白：字母每取一個值，這個式子也就有唯一的值確定，體現一種對應或函數的關系。最后，用字母表示的數還可參與運算，那便是方程。如此安排可能更易于學生對數到式的深度理解，層層遞進也不會顯得突兀，為初中學習代數式和方程等做了知識與思維觀念上的鋪墊。

2. 數到形的轉變

數到形的轉變，能使數學問題變得簡單、直觀和明了，小學中的線段圖就是一種常見的方法。以非常熟悉的年齡問題為例，妹妹對姐姐說：“我到你現在這么大時，你就35歲了。”姐姐對妹妹說：“我像你這么大時，你才17歲。”分別算算姐妹兩人的年齡。這個題目如果能用圖示：

一個簡單的圖示，意味著在35和17之間有三個年齡差，問題迎刃而解。找到其中的變與不變，也有對“數軸”感官層面上的刺激（當然也可用列表格反映三個時間段兩姐妹的年齡）。初中階段，列方程解應用題時，列表法、圖示法、文氏圖在尋找等量關系時發揮著巨大的功效，所以小學階段的準備不容忽視。

完全平方是初中的內容，但在六年級的課后練習已出現。通過對四塊小圖形的分別求解，等面積法得出量之間的關系。即使當時不能提及完全平方公式，但至少是圖形表征能力的滲透，再次碰到時不至于無從下手。初中階段如求兩個二次根式和的最小值問題，可轉化為兩條線段和的最小值問題就是較難的數形結合。

3. 量與量的變形

數學學習不僅要知曉各種程序（公式等）的來源，更要學會變形，實現程序思維向關系思維的有效過渡。在學習圓柱的側面積和體積時，可以出示如下題組：

（1）一個圓柱的側面積是75.36平方厘米，底面半徑是3厘米，它的體積是多少立方厘米？（2）一個圓柱的側面積是150平方厘米，底面半徑是3厘米，它的體積是多少立方厘米？

第一題直接借助公式，先求圓柱的高，再求體積，但第二題如同樣操作，高不是個整數，學生就感到困難，但通過引導列出綜合性的式子，約分后也能解決，當然最簡潔的方法便是側面積除以2，再乘以底面半徑直接就是結果。要讓學生驚嘆變形的神奇和簡便，也能使其在心理上慢慢接受和理解這樣的變化。雖然在學生的認知中，較為牢固和深刻的肯定是原始公式，面對其他，即便提過也不會牢記更別提自如地運用，運算中更多的是代數的韻味，若用整體的思想或者變形的思想，也能降低學習學習代數的門檻，為今后關系思維奠定良好的基礎。畢竟中學階段，函數關系中，用一個變量的代數式表示另一量以及乘法公式中的變形實在太常見了。

（三）主要能力的儲備

1. 辨析的能力

由嘗試錯誤理論得到啟發：辨析，即辨別對錯，分析原因，進而強化學習，也不失為一種有效的教學方式。在七年級內容中，有很多容易混淆的知識點，教師可以不斷強化，刺激，可能更容易讓學生理解與掌握。比方說，可以辨析范疇大小：數軸是直線，直線是數軸;自然數是整數，整數是自然數等，既能保證學生上課注意力集中，更能加強對相關知識點深入理解而非純記憶。又如，雖然小學階段已接觸正負數，但如僅將負數理解為帶負號的數，肯定是存在問題的，也會導致初中階段相反數概念，絕對值的幾何意義，甚至之后的有理數運算，難點平方根都會出現理解上的障礙，因此，小學階段可以開展類似主題為“只有符號不同”或者“-a一定是負數嗎？”或者“商一定比被除數小嗎？”的討論會，同伴間辨別對錯，分類討論，舉反例都是對初中學習的提前醞釀。即使過程中會有錯誤的結論，但經過討論之后的正確結果勢必會得以正強化并牢記于心。

2. 類比的能力

在整個數學教學中，類比能在已知與未知，新舊之間搭建梁橋，是獲取新知的一種重要方法與能力。

①結構類比。憑借結構上的相近發現問題，通過適當的代換，轉化嘗試解決。舉例，分母為1×2的分數拆項，延伸到1×3，1×4的拆項，結構上很接近，有相似但不完全是，可能一開始學生也會直接認為是1減去13，要允許學生大膽地猜測，但要告訴學生猜測只是主觀的不充分不嚴謹的活動，要確認其正確性，還需進行驗證，進而發現問題，糾正，重新歸納結論和規律。小學階段的引導也是對初中階段各類變式題組的一個提前演練。初中階段，一旦學習了一元一次方程的概念，會類比到一元二次方程，二元一次方程等，結構上的類比與觀察，猜測，證實，歸納緊密聯系。

②方法類比。小學階段推導圓的面積公式用了極限的思想，將圓分成若干（偶數）等份，用那些類似于等腰三角形拼成一個無限接近的近似長方形進而得到公式，在此基礎上，本人想到在研究立體圖形——圓柱的表面積時，還可以進行類比拓展，兩個底面可以看成是以底面周長為長，半徑為寬的長方形，與側面展開圖長方形，可拼成一個一邊為底面周長，另一邊是底面半徑與圓柱高之和的長方形，進而可推導出S=C（r+h）的新變形公式。類似的極限方法，可以延伸到扇形面積公式，將扇形看成弧長為底，半徑為高的三角形。另外，初中階段最常見的就是解一元一次方程類比到解不等式。

由此可見，類比有助于培養學生的開放性思維，提高數學的應用意識，遇到新情況，首先思考此前是否見過同類問題，那個題目當時是怎么解決的，最后的結論又是什么，那么這個題目可否先試試之前相同的方法等，如若不行，能否轉化為同類，只有伴隨這樣開放性的思維才能有所發現與創造，實現橫、縱向上的交融。

但有時候仍要注意類比帶來的思維定式。如，小學階段取數仍以正數為主，導致誤解：正比例函數就是一個變量隨著另一個的增大而增大，反比例就是一個增大，另一個減少，實際上是對兩者本質屬性（正比例是比值為定值，反比例是乘積為定值）尚未把握到位，對初中階段學習兩者的增減性可能會受干擾。

3. 表達的能力

數學表達能力是學生用口頭或書面的形式，把自己對數學知識、思想方法、解題思路、困難疑惑等向他人進行口頭敘述或書面展示的能力，是學生與他人進行數學信息交流必不可少的手段。通俗地講，說得清楚的一定是理解的，理解的卻不一定表達清晰、準確和到位。

初中教師最有感觸的便是，在學習七上6.4線段和差的時候，如例2這樣求線段的長度，很大一部分學生知道答案，也知道如何求解算式，卻不會寫格式，可能和非智力因素有關，但肯定也同表達能力有一定聯系。小學教師多訓練些體現思維嚴密性和邏輯性的題型，小學中高段的數學廣場（鴿巢問題、找次品）就是個不錯的訓練場地。先口頭闡述觀點，再利用直觀圖，流程圖或者枚舉法，配以簡潔的文字，逐漸在教師引導下將思維呈現。初中教師則在初步接觸幾何語言的時候，多給予模板的示范和強化，為七下第一章平行線以及八九年級各種幾何證明嚴格規范打下扎實的基礎，而在思維方面對學習反證法也是一份細水長流式的準備。而在學習概念或代數方面的知識時，可能還要普通語言數學化，數學語言普通化，更能揭示本質屬性，加深理解。

表達的方式也可以是全班呈現或者組內，個人同伴相互請教，發揮同伴影響力，又能嚴格地督促自身。通過口頭表達，疑惑得以消除，觀點得到證實，發現得到分享，雜亂的思緒得以組織，模糊的觀點得以澄清，同伴交流的信心和數學學習的興趣也會隨之上漲。而書面表達的黑板或投影展示，也能更加在教師和同伴的監督下，向簡潔、準確和完整靠攏，幾何自然也逐漸沒有想象中的高高在上。

三、 評價階段

進入新校園，準七年級學生可能還是有一定的新鮮感，在心理上也普遍存在從頭再來的上進愿望，因此，初中教師應該抓住契機，努力培養學生數學學習的興趣，提高鉆研的熱情，不放過對任何一次新奇想法，一次自我糾正的鼓勵與贊賞。尤其是在學習內容擴充，難度加大以及失敗次數增加的情況下，教師更當發揮教育者的特有功效，在問題的逐個解決中，讓其享受到來之不易的成功喜悅，從而促使他們對數學學習保持持久新鮮。畢竟較小學教師而言，初中教師的表揚機制相對少一些，那么盡量減少兩者頻數上的差距，也是對學生適應性提高的一種幫助。當人們執行某種行為時，能從他人那里得到某種肯定或愉快的感覺，進而又能推動其繼續趨向或重復此種行為，這便是期望與肯定產生的皮格馬利翁效應。良好的行為被強化，向更優秀的方向發展。

另外，小學教師經常會采用“蹲班制”，因而對作業的反饋更多當堂完成或當天批改，反饋迅速，能十分及時了解學生在學習過程中的困難與疑惑，大部分教師還對作業不佳的學生，多次個別輔導，外加類似題型訓練，直至真正掌握為止。而中學教師，由于課堂容量大，不可能對每個作業題細致入微地講解，畢竟時間不允許，只能對錯誤率高的題目進行選擇性地重點講，一部分作業也只能隔天上交隔天批改，反饋上的確相對滯后些。面對這樣的反差，七年級教師也只能多利用課后時間對暫時落后的學生單獨輔導多一些，專項訓練多一些，在學生還在學習的時候輔導至少還是有一定效果的，畢竟只是七年級。當然，同伴互助或導生制也不失為一良策，盡最大努力延遲“分化”“滑坡”的到來。總之，即使該扶則扶，該放則放，最根本的還是要改變學生的學習方式，逐漸向自主探究、合作交流的方式過渡。

中小數學銜接是一個既老又新、既宏大又細微的話題，影響因素有很多，本研究也只是零碎的一些想法，還可以對其他因素作更進一步地專項研究和探討;兩者教材間的對比也只是部分，盡力將整個9年的教材進行仔細比照和思索;也可以考慮小學初中教師形成研究共同體，一起探討并將成果成文并實踐，可能更加全面與周到些。集大家之智慧，便是共贏。

總之，小學教師要立足當下，登高望遠，知曉學生學習的下一站，瞻前顧后，胸懷大局，幫助學生向著詩和遠方出發前行。相信在雙方的齊心合力下，從學生的實際困惑出發，不斷改進完善，前行之路必定不是一條難攻克的“蜀道”。

參考文獻：

[1]劉玉勇.借小學數學“2+1”培養，助小升初有效銜接[J].內蒙古教育，2020（9）：127-128.

[2]葛善勤.“度”與“渡”：基于小初銜接的小學數學教學[J].江蘇教育研究，2020（14）：43-46.

[3]白永瀟，曹辰.促進中小學數學教學銜接的初一年級數學前測命題研究[J].中國考試，2019（10）：40-45.

[4]黃亞奇.七年級數學的銜接性教學之我見[J].中學數學，2019（2）：70-71.

作者簡介：

汪慶，浙江省杭州市，杭州市蕭山區益農鎮初級中學。