試論數(shù)學(xué)運算的水平與教學(xué)

沈良

摘 ?要：以平面向量數(shù)量積為研究載體，探討了數(shù)學(xué)運算的四個水平——理解、運用、綜合、創(chuàng)新. 這些運算水平可以從運算的種類、情境和方法三個方面分析特征. 運算水平的提升，主要受結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、情境的動態(tài)性、表征的抽象性、元素的多樣性等因素影響. 教學(xué)中，要“根據(jù)不同要求，開展不同水平教學(xué);落實算理教學(xué)，提升運算設(shè)計能力;加強推理培養(yǎng)，提升運算求解能力”，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運算;理解;運用;綜合;創(chuàng)新;平面向量

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），將數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)劃分為三個水平，分別從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面闡述了不同水平的考查要求. 例如，從情境與問題來看，水平一要求能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運算對象，提出運算問題;水平二要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題;水平三要求在綜合的情境中，能夠把問題轉(zhuǎn)化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向. 國內(nèi)一些學(xué)者和教師也對數(shù)學(xué)運算水平進行了研究，如有學(xué)者根據(jù)喻平教授從知識的角度切入，參照布魯姆的學(xué)習(xí)目標(biāo)分類、PISA模型和SOLO模型等對數(shù)學(xué)運算能力在三級水平上的具體表現(xiàn)給出操作性定義：水平一，知識理解;水平二，知識遷移;水平三，知識創(chuàng)新. 有學(xué)者根據(jù)對特定數(shù)學(xué)運算的理解與運用情況，將學(xué)生在特定數(shù)學(xué)運算方面的水平分為五級：潛在概念水平，數(shù)學(xué)概念水平，簡單運算水平，運用算理水平，綜合運算水平. 也有學(xué)者用布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，從知識維度和認(rèn)知過程維度研究數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 這些研究對于一線教師開展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)教學(xué)都有良好的啟發(fā).

如何結(jié)合一個具體的運算研究數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的水平，這是筆者思考的問題. 若從“構(gòu)建、選擇、設(shè)計、推進和優(yōu)化”等全過程考慮數(shù)學(xué)運算，會涉及整個解題系統(tǒng)，這樣就不利于具體數(shù)學(xué)運算水平的研究. 因此，筆者嘗試選擇平面向量數(shù)量積運算開展數(shù)學(xué)運算水平的探究，從一個相對封閉的環(huán)境開始研究，且不涉及數(shù)量積運算在實際問題中的運用，因為這又會關(guān)系到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

選擇平面向量數(shù)量積作為研究對象有下述理由：（1）數(shù)量積運算內(nèi)涵豐富，既包含代數(shù)屬性，又蘊含幾何意義，可以用定義、坐標(biāo)、幾何等形式計算求值;（2）數(shù)量積與向量線性運算等構(gòu)成混合運算，有一些良好的運算律;（3）平面向量是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個新對象，它的運算相對獨立，便于考查研究;（4）平面向量數(shù)量積運算的發(fā)展十分豐富，既可以類比到空間向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)，也可以類比到向量外積的學(xué)習(xí).

一、數(shù)學(xué)運算的水平劃分

選定研究對象之后，需要思考如何進一步劃分?jǐn)?shù)學(xué)運算水平. 綜合《標(biāo)準(zhǔn)》和學(xué)者專家的觀點，筆者將數(shù)學(xué)運算水平劃分為四個層次：理解，運用，綜合，創(chuàng)新.

其一，布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)中的第一層次是記憶，由此筆者以為數(shù)學(xué)運算是一種推理活動，只有理解之后才能推進，只有理解數(shù)學(xué)概念、掌握運算法則后，才能展開數(shù)學(xué)運算. 數(shù)學(xué)運算的起步水平就是理解. 理解水平上的數(shù)學(xué)運算種類比較單一，或是簡單的混合運算.

其二，運用是指對運算概念和運算法則比較靈活的運用. 它往往涉及多種運算，需要借助轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法進行. 這里需要說明的是，為何選擇“運用”這個詞而不選擇“遷移”這個詞，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題的解決、數(shù)學(xué)運算的進行都是遷移，只是有“近遷移”“遠(yuǎn)遷移”“橫向遷移”“縱向遷移”的區(qū)別，所以要選擇一個介于“理解”和“綜合”水平之間的詞，“運用”更恰當(dāng).

其三，綜合是指在相對復(fù)雜的情境中找到運算解決的路徑，它不僅涉及多種運算，而且運算的方向也不是那么明朗，需要分析條件中的各個要素，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，找到條件與運算結(jié)果之間的聯(lián)系，實現(xiàn)問題的解決.

其四，運算的創(chuàng)新指向什么？運算的學(xué)習(xí)是可以類比的. 例如，可以從指數(shù)運算類比到對數(shù)運算，可以從數(shù)的加法類比到向量的加法，等等. 創(chuàng)新在數(shù)學(xué)運算中體現(xiàn)的是通過運算的學(xué)習(xí)、經(jīng)驗的積累，引導(dǎo)學(xué)生用編程的視角自己創(chuàng)造新的運算，并在一套體系中實現(xiàn)運算建構(gòu). 這有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一種創(chuàng)造學(xué)習(xí)，教師要創(chuàng)設(shè)這樣的機會讓學(xué)生實現(xiàn)這種創(chuàng)造.

二、數(shù)學(xué)運算各水平的特征

實踐中，可以從運算種類、運算情境和運算方法三個維度刻畫每個水平的具體特征，如下表所示. 理解水平中，運算種類相對單一，運算規(guī)則比較清晰，靜態(tài)問題居多，直接運算求值，它是運算概念與運算規(guī)則的直接應(yīng)用;運用水平中，運算一般以混合形式出現(xiàn)，研究問題動靜結(jié)合，但以單變量為主，一般需要借助概念、定理、公式等進行轉(zhuǎn)化，從而推進下一步計算;綜合水平中，以混合運算為主，問題情境綜合程度較高，動態(tài)居多，滲透多變量，要求學(xué)生能夠靈活運用知識和方法設(shè)計運算路徑，實現(xiàn)運算的探究求值;創(chuàng)新水平中，教師引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造運算，類比學(xué)習(xí)，這是一種高級數(shù)學(xué)思維活動，對學(xué)生的要求極高.

三、數(shù)學(xué)運算水平的問題設(shè)計

根據(jù)研究需要，筆者以“平面向量數(shù)量積”為素材設(shè)計了四個水平的試題，提供給高一、高三學(xué)生進行抽樣測試，并對測試結(jié)果進行分析.

1. 理解水平的設(shè)計

問題1：已知平面向量[a，b]滿足[a=1， b=2]，且[a，b]夾角為[60°]，試計算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · ?a-b];

（3）[2a+3b · 4a-5b].

問題2：已知平面向量[a，b]滿足[a=1，1]，[b=][2，3]，試計算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · a-b];

（3）[a+3b · 2a-7b].

2. 運用水平的設(shè)計

問題3：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=3]，[∠BAC=][60°]，[BD=13BC]，則[AB · AC]的值為 ? ? ?.

問題4：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，且點[O]為[△ABC]外接圓的圓心，則[AO · AB]的值為 ? ? ? ，[AO · BC]的值為 ? ? ? .

問題5：在[?ABCD]中，已知[AB=4，AD=3，∠BAD=][60°]，[P]為[?ABCD]內(nèi)一點（含邊界），則[AP · AB]的最大值為 ? ? ?.

3. 綜合水平的設(shè)計

問題6：已知平面向量[a，b]滿足[a=1]，[b+a=][2b-a]，則[a · b]的最大值為 ? ? ?.

問題7：已知平面向量[a，b，c]滿足[a=1]，[b=][3]，[a · b=0]，[c-a]與[c-b]的夾角為[π6]，則[c · b-a]的最大值為 ? ? ?.

問題8：在平面凸四邊形[ABCD]中，[AB=2]，點[M，][N]分別是邊[AD，BC]的中點，且[MN=32]，若[MN ·][AD-BC=32]，則[AB · CD]的值為 ? ? ?.

4. 創(chuàng)新水平的設(shè)計

問題9：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）定義為[a · b=][abcosθ]（其中[θ]為[a]與[b]的夾角）. 類似地，我們也可以定義兩個向量的叉乘（外積）[c=a×b]，且[a×b=][absinθ]（其中[θ]為[a]與[b]的夾角）. 結(jié)合圖1可知，向量[a，b]的叉乘表示一個向量[c]，其方向垂直于[a]和[b]，指向符合右手規(guī)則，如圖2所示. 且[c=absinθ].

根據(jù)上述材料，試回答下列問題.

（1）求值：[a×a]的值為 ? ? ?.

（2）求值：向量[a，b]滿足[a=1， b=2]，且[a，b]的夾角為[60°]，則[a×b]的值為 ? ? ?.

（3）[a×b]的值為 ? ? ?.（填[b×a]或[-b×a].）

（4）若空間向量[a，b]的坐標(biāo)分別為[a=1，0，0]，[b=0，1，0]，則向量[a×b]的值為 ? ? ?.

四、數(shù)學(xué)運算結(jié)果的測評分析

從檢測數(shù)據(jù)總體來看，學(xué)生在解答不同水平試題的過程中具有不同表現(xiàn). 例如，學(xué)生解答問題1、問題2的正確率顯然高于問題8和問題9，即運算水平要求低則正確率高，運算水平要求高則正確率低. 將復(fù)雜運算和簡單運算對照，可以發(fā)現(xiàn)所謂運算復(fù)雜性至少包含這些因素：結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，情境的動態(tài)性，表征的抽象性，元素的多樣性，等等.

1. 結(jié)構(gòu)越復(fù)雜混合運算越多

運算通常由一些代數(shù)式經(jīng)過相應(yīng)的程序操作得到結(jié)果，而代數(shù)式的簡潔與復(fù)雜程度會影響學(xué)生的運算. 如上所述，面對[a+b · a-b]和[2a+3b · 4a-5b]時，學(xué)生計算[a+b · ?a-b]的正確率會更高. 其原因是兩個運算式相比，[a+b · a-b]的結(jié)構(gòu)式更簡潔，而簡潔的本質(zhì)是混合運算更少，或者說中間需要經(jīng)歷的化簡過程更少. 事實上，[2a+3b · 4a-5b]比[a+b · a-b]多了些系數(shù)，本質(zhì)上便是多了數(shù)乘運算的過程. 又如，同樣計算加法[17+96]和[17+12]，顯然[17+96]的錯誤率會更高，其原因就是[17+96]涉及進位問題，學(xué)生更容易出錯. 因此，結(jié)構(gòu)式的復(fù)雜性是混合運算多樣性的反映.

2. 情境的動態(tài)性關(guān)聯(lián)變量研究

數(shù)學(xué)問題情境一般可以分為靜態(tài)與動態(tài). 靜態(tài)問題學(xué)生更容易把握，而動態(tài)問題往往需要引進變量去刻畫，這就給問題研究帶來了困難. 例如，運用水平中問題5與問題3的差異，就是情境的動態(tài)性. 問題5中學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)[AP · ABmax=AC · AB]，運算反而更加簡單，但問題5的難點恰好在于動態(tài)之中如何借助數(shù)量積的幾何意義等方法找到點[P]位于點[C]處時[AP · AB]最大，這就涉及運算轉(zhuǎn)化等問題. 從這個角度來看，從一個相對封閉的研究起點開始可以發(fā)現(xiàn)，影響運算的不僅僅是運算本身. 如果問題5改為直接計算[AC · AB]的值，正確率勢必會比問題3高很多. 因此，運算的困難正是源于它貫穿數(shù)學(xué)問題解決的始終.

3. 抽象程度越高模型越難建構(gòu)

對于綜合水平中的問題6，有些學(xué)生也顯得束手無策，主要是不知道如何轉(zhuǎn)化條件[b+a=2b-a]，這就涉及問題的抽象性. 事實上，對[b+a=2b-a]的處理，一種是轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離，可以表征為阿波羅尼斯圓. 設(shè)[OA=a]，[OB=b]，作圖得[BA=2BA]. 根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，可知點[B]的軌跡為以[A1A2]（[A1，A2]分別為內(nèi)分點和外分點）為直徑的圓，如圖3所示. 故[a · bmax=3].

當(dāng)然，也可以將[b+a=2b-a]兩邊平方，得[3b2-][10b · a+3a2=0]. 有[b-3a · b-a3=0]，故[b]的終點是以[A1A2]為直徑的圓，如圖4所示. 故[a · bmax=3].

4. 研究對象越多綜合程度越高

情境復(fù)雜性的一個重要表現(xiàn)就是元素的多樣性，從運算角度來看，就是運算對象的多樣性. 問題7和問題8，對學(xué)生而言比較畏懼，主要是因為都涉及三個以上向量，研究清楚這些向量的位置關(guān)系是首要的. 問題7中，由“[c-a]與[c-b]的夾角為[π6]”知[c]的終點[C]在弦[AB]所對的圓上，[∠ACB=π6，AB=2]，根據(jù)正弦定理，得[△ACB]外接圓半徑為2，故終點[C]落在以[E2， 3]或[F-1，0]為圓心、半徑為2的圓上，如圖5所示.

由此得圓的方程為[x-22+y-32=4]或[x+12+][y2=4]. 利用投影的幾何意義、三角代換或設(shè)直線聯(lián)立方程等方法，求得[c · b-a]的最大值為5. 同樣，問題8主要是基于基底思想，將條件中的向量轉(zhuǎn)化為[AB]和[CD]，從而解決問題. 由問題7和問題8可以看到，當(dāng)有多個運算對象時，總是需要固定一些運算對象，即視作常量，再用動態(tài)視角研究其他對象.

五、數(shù)學(xué)運算水平的教學(xué)啟示

1. 根據(jù)不同要求，開展不同教學(xué)

將數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)落實到教學(xué)中，不同的發(fā)展水平應(yīng)有不同的教學(xué)要求. 具體要把握好以下兩個方面.

一是根據(jù)學(xué)生的能力把握教學(xué)要求. 學(xué)生的數(shù)學(xué)能力存在差異，考核的要求與目標(biāo)也有所不同. 教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的實際，從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，有針對性地將“理解、運用、綜合、創(chuàng)新”四個層次融入教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算思維.

二是根據(jù)學(xué)生的發(fā)展時期把握教學(xué)要求. 事物都是在發(fā)展的，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生也在發(fā)展變化. 例如，同樣是向量數(shù)量積教學(xué)，放在高三年級與高一年級具有較大的差異，高一年級更多關(guān)注理解水平和運用水平，而高三年級則需要兼顧綜合水平和創(chuàng)新水平. 特別是當(dāng)我們在尋求學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)時，就需要在夯實學(xué)生基礎(chǔ)的同時，開放學(xué)生思維，創(chuàng)新問題設(shè)置方式，夯實學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的土壤.

2. 落實算理教學(xué)，提升運算設(shè)計能力

不管開展哪個水平的運算教學(xué)，都離不開落實算理教學(xué). 算理即運算的道理，它是指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計運算方法和運算程序的一種觀念. 學(xué)習(xí)中經(jīng)常會遇到一些學(xué)生對某些運算問題“不開竅”，總是想不到怎么算. 這個問題的本質(zhì)就是學(xué)生對算理的理解不夠深刻. 如上，學(xué)生在計算問題4中的[AO · AB]時，就不知道如何結(jié)合外接圓圓心的特征有效尋找數(shù)量積[AO · AB]的幾何意義. 在這個問題中，學(xué)生對算理的理解不深刻即表現(xiàn)為對數(shù)量積幾何意義的理解不深刻. 因此，在數(shù)學(xué)運算教學(xué)過程中，很多時候教師需要點通那個“理”，從而使學(xué)生的運算有明確指向，再結(jié)合具體運算方法，使數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)成為現(xiàn)實. 因此，平面向量數(shù)量積的教學(xué)，就是要構(gòu)建好概念內(nèi)涵、幾何意義和坐標(biāo)形式的聯(lián)系，溝通好數(shù)量積運算與線性運算的聯(lián)系，理解數(shù)量積的應(yīng)用等，從而使學(xué)生在具體運算中能依據(jù)算理、設(shè)計算法、執(zhí)行運算等.

3. 加強推理培養(yǎng)，提升運算求解能力

運算的本質(zhì)為推理，即根據(jù)運算的定義，由一個量或幾個量得到其他量，這個定義就是一個設(shè)計的程序. 如上，向量[a]和[b]的數(shù)量積即為[a]，[b]和其夾角的余弦值三者的乘積，得到一個具體的值. 根據(jù)定義，結(jié)合條件，運用推理，實現(xiàn)求值. 例如，在上述問題8中，如圖6，因為目標(biāo)指向為[AB · CD]，故可以嘗試將條件中的向量轉(zhuǎn)化為[AB]和[CD]的形式. 由[MN=MA+][AB+BN]，[MN=MD+DC+CN]，兩式相加，得[2MN=][AB+DC]，且[AD-BC=AB+BD-BD+DC=AB-DC].所以[MN · AD-BC=12AB+DC · AB-DC=32]. 得到[AB2-DC2=3]. 故[DC2=1]. 再由[MN=32]，將[2MN=][AB+DC]兩邊平方，通過計算可以得到[AB · DC=2]，故[AB · CD=-2].

[N][M][D][C][B][A][圖6]

問題8中，通過線性運算實現(xiàn)向量轉(zhuǎn)化，通過平方運算將長度轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算，邏輯推理是手段，概念、定理、公式等是基礎(chǔ)，而運算是工具和目標(biāo)，最終實現(xiàn)問題解決. 教學(xué)中，需要將運算和推理緊密結(jié)合起來，運用推理的眼光看運算，通過運算建立已知量與未知量的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)運算具有不同水平，這個水平一定程度上體現(xiàn)了學(xué)生的解題水平，因為數(shù)學(xué)解題的核心是推理運算，故運算貫穿于解題的始終. 本文以平面向量數(shù)量積這個相對封閉的運算系統(tǒng)為研究載體，探討了運算的四個水平和特征，但運算的落腳點并不局限于此. 在實際教學(xué)中，還要考慮運算的整體，即從運算的構(gòu)建、選擇、設(shè)計、推進和優(yōu)化等全過程進行考慮.

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