數學分析中有限向無限的轉化

文_楊洋

數學分析的學習對鍛煉青少年的數學思維很有幫助，但對青少年學生而言也有一定的難度，青少年通常會遇到無限集不一定具有最大值和最小值，而有限集必須具有最大值和最小值，從而出現無窮大的問題。為此，本文將主要介紹幾種重要的無限、有限方法，分析數學分析中將無限問題轉換為有限問題的方法：一種方法是將閉合間隙分成相等的部分解決，另一種方法是使用有限覆蓋定理用無窮大替換無窮大，從而輕松解決問題。

從數字的角度來看，最大的有限總趨近于最小的無限，那么，最大的無限是否存在？如果存在，是否總趨近于最小的超越無限？超越無限，實指一種緣式無限，比最大無限更加難以衡量。該假說可以引出幾個概念，即有限、無限、最小無限、最大無限、緣式最大無限以及一般的緣式無限。以下，筆者就從數學的角度，證明最大無限是存在的，而超越最大無限一般都是最大無限之間或本身的緣式疊加，即緣式最大無限。

無限是有限的基礎

擲硬幣的概率是青少年比較熟悉的事。投擲一枚硬幣得到正反面的概率都是1/2，但我們將硬幣拋10 次，有4 次正面，6 次反面，投擲硬幣得到正面的概率是2/5，反面的概率是3/5—為什么都不是1/2 呢？實際上，我們常說的1/2 的概率是經過無數次實驗后得出的近似值，都是以無限為基礎的結果。如果沒有無限的基礎，我們得到的概率就不再客觀。

無限是由有限構成的

有限的運算建立在無限的基礎上，雖然你看不到它的存在，但你不能無視它的存在，因為它一直在我們身邊。下面筆者將說一個出自杰出數學家大衛·希爾伯特之口的故事。

無限旅館有無限個房間，住著無限位旅客。一天晚上，一個人想在無限旅館住宿。店主對他說：“對不起，我們沒有空房間，但是也許我們可以為你找個房間。”然后，店主不情愿地喚醒了他所有的租戶，讓1 號房間的租戶搬到了2 號房間，2 號房間的租戶搬到了3 號房間，3 號房間的租戶搬到了4 號房間，繼續下去，直到各租戶都搬進了下一個房間。這時，令人驚訝的是，竟然空出來了1 個房間。

從這個故事中，我們可以看到，無限由有限構成，每個房間都有限制，每個房間只能住一個游客，但即使有無限位旅客，也可以入住這個無限旅館。世界上很多東西都是無限的，但組成它的部分是有限的。我們都知道數學中自然數是無限的，但是構成自然數的各數量是有限的。例如，1,2,3,4,5,6,7,8,9,0這些數字都是構成自然數的成分，這也證明了無限由有限構成。

利用有限覆蓋定律實現無限轉有限

數學研究的目的是量化。換言之，一個量會跟著另一個量而形成一個空化，而另一個量的變化可以是有限的或無限的。對無限對象的研究通常不知道如何開始，并且似乎沒有經驗，因此對無限的研究變成了對有限的研究，這種思想已成為解決無限問題的重要方法。另外，在積累了解決無限問題的經驗之后，可以通過將有限問題轉換為無限問題，從而解決有限問題。該方法是有限和無限思想的體現。

在具體碰到問題時，運用有限與無限的數學思想可以快速地求解。有限覆蓋定理可表述為，從閉區間[a,b]的任一無限開覆蓋H中可取出[a,b]的有限個開覆蓋。在有限覆蓋定理中，將被覆蓋的閉區間[a,b]改為開區間(a,b)，定理不一定成立。例如，開區間集H 覆蓋開區間(0,1)，但是H中任意有限個開區間不能包含間隙(0,1)。通常使用有限覆蓋定理實現該目的，以將每個點的局部屬性在一個封閉區間內擴展到整個封閉區間。使用有限覆蓋定理證明問題通常是基于問題的要求，構造具有特定性質P的一組開放區間H，以包括閉合區間[a,b]并使用有限覆蓋定理，從H中取出有限個開區間H(i＝1,2,…,n)也覆蓋[a,b]，這樣將無限問題轉化為有限問題，使得每個開區間H(i＝1,2,…,n)局部屬性轉換為整個閉合間隔[a,b]的屬性。這種將無窮大轉換為有限并將局部性質擴展為整體的方法是有限覆蓋定理的階梯應用思路，反映了從“部分”擴展為“全部”的性質。

本文介紹的等分方法和使用有限范圍定理將無限問題轉換為有限問題的兩種方法主要用于封閉區間或有限封閉區域。如果不是閉合區間，則只要能解決問題，也可以在閉合區間中使用這兩種方法，用有限度替換無窮大。至于超越最大無限，不能用簡單的代數式衡量，可能只有在依托載體的情況下才會被實現，即兩個若干無限量的事物發生一種名為“緣式疊加”的反應，如果它們都不是最大無限，那么結果不一定會到達超越無限的境地。對于緣式最大無限，可以明了的是，它的值一定不是無限，絕對在前，相對在后，因為這已經完全抹去了時間的概念。

簡而言之，青少年在提前學習數學分析的過程中，可以通過掌握變化的趨勢或臨界狀態或變量的邊界快速而準確地回答有限和無限的問題，但是要想做到熟練就必須具有較強的感知能力和扎實的基本技能。可以說，有限的無限思維測試已應用在高考中，如廣泛的思維、良好的相關性等。此類思維方式的應用為青少年帶來了數學思維發展和數學技能的提高。為了提高學生對數學的整體理解，必須巧妙地將這種數學思維滲透到教學中。