指向“以學定教”的數學教學設計示例
——透過“兩角差的余弦公式”的視點

淮北師范大學數學科學學院 (235000) 李 雪 張 昆

教是為了不教，學是為了創造.“以學定教”的教學理念強調課堂教學活動不是形成一個個句號，而是調動學生的主觀能動性促使課堂教學活動產生一個個問號.教師作為教學活動的引導者，要鼓勵學生基于已有的知識經驗，尋找新舊知識之間的聯系，主動將新知識“掛靠”到原有的認知結構中，從而形成相應的技能、技巧，形成學習能力與養成數學素養.

一、“以學定教”教育理念的基本內涵

“以學定教”顧名思義就是以學生的“學”來確定教師的“教”.“以學定教”中的“學”包含學情和學生兩層含義：從學情的角度分析，“學”是指學生原有的知識結構和認知發展水平，同時也包括學生數學思維的深度、數學思想方法的掌握程度以及應用數學知識解決實際問題的能力等；從學生的角度分析，“學”是指教師的教學要面向全體學生，體現人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展的基本理念.“以學定教”中的“教”是指教師的教學設計，即教師依據學情分析，基于自身對數學知識的認識設計教學方案，以幫助學生理解和掌握新知識.

教育之設施，以受教者之資質為根據，教育之研究，以受教者之資質為對象[1].由此可見，“學”是為了更好的“教”.這里認為，“以學定教”的真正涵義是教師要堅持“以生為本”的教學發展觀，基于學生的實際情況來確定教學順序、教學方法和教學手段，幫助學生建立起新、舊知識之間的聯系，實現學生對新知識的承載與編碼.“以學定教”的教學理念要求教師依據學情來設計數學教學方案，并根據學生的課堂回答、行為表現等及時調整教學，以幫助學生自然地、高效地理解并掌握新知識.

二、實現“以學定教”數學教學模式的“三二一”要點

學生的“學”影響著教師的“教”，教師的“教”又反作用于學生的“學”.學生接受新知的過程是一個積極主動的探究過程，是一個發揮人的主觀能動性去利用認知結構編寫信息從而發揮“運動效應”的過程[2].“以學定教”并非否定教師的“教”，而是要求以“學”為依據來完善教師的“教”.這里基于“以學定教”理念的內涵，提出了該理念指導下的數學課堂教學模式的“三二一”(三原則兩關鍵一核心)要點，以下詳細說明之.

(一)三個原則

“以學定教”模式下的數學課堂教學需遵守以下三個原則:

1.教師要注意教導的限度與施教方式

《師說》有云：“古之學者必有師，師者，所以傳道授業解惑也.”教師是教學活動的引導者，但絕不能在課堂中“一手遮天”.古希臘著名的哲學家蘇格拉底提出的“產婆術”包括諷刺、助產、歸納和定義四個步驟.其中“助產”就是啟發、引導學生,幫助學生自主思考，得出結論.由此可見，在數學課堂教學中，教師要注意教導的限度，在教學中適當的“留白”不僅能夠激發學生自主思考，還能夠增強學生的參與感，激發學生的求知欲.“以學定教”理念指導下的數學教學模式并不是教師一味地給予，學生一味地接受，而是教師依據數學情境，結合學生的最近發展區，啟發學生自主探究問題答案.孔子有云“不憤不啟，不悱不發.”啟發式數學教學具有較好的教育作用，是實現有效數學教學的優化途徑與方法，它能調動學生學習的主動性和積極性、促使他們生動活潑地進行數學學習與發現[3].啟發式的數學不僅有助于學生編碼、應用新知識，還能夠提高學生自主學習與解決問題的能力，充分體現“教是為了不教，學是為了創造”的教學理念.

2.堅持學生主體、教師主導的教學理念

波利亞提出的“主動學習”表明，學習任何知識的最佳途徑都是自己去發現[4].在數學課堂中，學生是學習的主體，教師要引導學生體驗知識的發生發展過程，鼓勵學生自主探究、獲得新知.傳統的“填鴨式”和“滿堂灌式”的教學，只體現了教師在課堂中的主導作用，卻忽視了學生在數學教學中的主體地位，學生在學習過程中參與感極低，久而久之，便會喪失學習的興趣.由此可見，教師應堅持學生主體、教師主導的教學理念，進行指向激發學生的學習興趣，增強學生的數學體驗感、調動學生學習的積極性和鼓勵學生自主學習探究的數學教學設計.

3.實現以學生發展為本的教學價值追求

“以學生發展為本”是當前課程改革的核心理念，它決定著課堂教學變革的基本價值取向.林崇德教授曾言：“教學的重要任務，是在傳授知識的同時，靈活的發展和培養學生的智力與能力[5].”曹才翰教授曾指出：“中學數學所提到的數學能力可以分為兩大類，學習數學的能力和創造數學的能力，對這兩個處于平行關系的層面再進行細分，又涉及到運算能力、空間想象力、邏輯思維能力和初步應用數學的能力.[6]”教師要在數學教學中有意識地培養學生這四項基本能力，引導學生參與知識的發生發展過程，幫助學生在編碼新知識的過程中提升數學能力，掌握數學方法，真正做到以學生的發展為本.

(二)兩個關鍵

三個原則是宏觀視角下“以學定教”理念對數學教學的要求.從微觀視角來看，“以學定教”理念對數學教師的教學設計也提出了標準，即要求教師在教學時既要提出“好”的問題，又要自然地展現知識的發生發展過程.

1.提“好”的問題

問題是學生思維迸發的泉眼.在實際教學過程中，教師只有提出“好”的問題，才能激發學生的求知欲，主動發生思維活動.“好”的問題不僅能夠提高學生學習數學的興趣，還能夠在學生參與教學活動的過程中，增強學生的滿足感并建立學習自信.符合以下標準的問題才能稱作“好”的問題：其一，與課堂有關，有深刻意義；其二，扎根于合適根據地，圍繞“最近發展區”；其三，指向數學本質與核心.

2.自然地展現數學知識的發生發展過程

教師要依據課本所提供的知識素材，設計符合學生知識基礎和認知水平的教學設計，選擇“合適根據地”，確定最近發展區，引導學生自然地體會知識的發生發展過程，實現對新知識的承載與編碼.教師在教學中要借助數學情境，鼓勵學生尋找新舊知識之間的聯系，以此來體會學習新知識的意義與必要性，幫助學生順利地、自然地將新知識納入原有的認知結構.

(三)一個核心——圍繞學情設計教學

學情分析是教學設計的基礎.教師只有充分了解學生的基本情況，才能“量體裁衣”，因材施教.這要求教師需要把握學生發生數學知識認識時的心理活動，明確發生數學知識認識的心理序列，掌握學生的認知起點，基于教學內容選取合適的教學方法.教師要建立“合適根據地”，設計基于學生“最近發展區”的教學.倘若教學內容的難度過高，學生便難以理解、吸收；若教學內容過于簡單，則不利于學生能力的提升.由此可見，教師唯有充分了解學生，進行真正符合學生知識基礎與認知水平的教學，學生才能有所收獲.

三、“以學定教”理念指導下的“兩角差的余弦公式”教學設計

俚語有言：“理在用時方知妙”.真正進行指向“以學定教”的教學不是一件容易的事，需要教師基于課堂教學模式的“三二一”要點設計教學，這沒有一個固定的教學模式可以規范性地執行，為此，這里以“兩角差的余弦公式”教學設計為例加以說明.

(一)創設情境、引入課題

圖1

生：W=|F|·|S|cos(45°-β)=30cos(45°-β).

師：很好.只要我們能夠求出cos(45°-β)的值，我們就可以得到答案.我們如何才能求出它的值呢？

師：cos(45°-30°)=cos15°的值為多少？

生：不是特殊角度，我們只能通過計算器求解.

圖2

師：我們不能每次都構造直角三角形來求解非特殊角度的余弦值，大家觀察cos(45°-30°)這個式子，我們能不能借助已經學過的特殊角度的三角函數值求出cos15°呢，大家大膽猜測一下？

生：我猜cos(45°-30°)=cos45°-cos30°.

師：這個猜測正確嗎？

師：大家想一想，還可以寫成什么形式呢？

設計意圖：這里由物理情境引出亟待解決的問題，即求解cos(45°-30°)=cos15°.基于學生已經掌握的數學知識，并不能快速、準確地求出答案，但cos15°是由學生熟悉的特殊角度組合而成的，故而教師引導學生借助四個特殊角度的三角函數來解決問題.這其實就是兩個關鍵中的“好”的問題.這里的問題能夠幫助學生體會到解決問題的迫切性，也符合了“好”的問題的三個要求：既與所要學習的新知識——兩角差的余弦公式相關，又立足于學生的最近發展區，從學生已有的知識結構中調取知識，鼓勵學生自主解決問題，也體現了數學知識的本質與核心.

(二)設置懸念、激發矛盾

師：應該如何運用特殊三角函數值求解出cos(45°-30°)呢？大家思考一下，我們之前有沒有學過形如cos(45°-30°)的公式呢？

生：我們以前學過的誘導公式也是求解兩角差的余弦公式.

師：很好，形式確實很相似.同學們觀察下面四個誘導公式，有什么發現？

生：四個誘導公式變成了cos(α-β)的形式，其形式與cos(45°-30°)更相似了.

師：也就是說，如果我們能得到cos(α-β)的展開式，我們就能夠找到求解cos(45°-30°)的簡便方法.大家參考四個誘導公式，可以發現cos(α-β)的展開式都含有哪些元素嗎？

生：sinβ、cosβ一定有.

師：很好.假設我們調換二者的位置，那么cos(α-β)又可以轉化為何種等價形式？表達式里還有其他元素嗎？

生：cos(α-β)=cos[-(β-α)]=cos(β-α)，所以還可能會有sinα、cosα.

三角函數式cos45°cos30°sin45°sin30°三角函數值22322212

師：我們得到了兩種答案，哪一種更合理呢？

生：①式更合理，我們可以通過cos(90°-60°)=cos30°代入驗證.

師：很好.由此我們得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ③.

設計意圖：在此環節，既體現了一個核心——圍繞學情展開教學，又體現了教學時應該遵守的三個原則.教師基于學生已經掌握的誘導公式引導學生探究兩角差的余弦公式，幫助學生借助頭腦中已有的舊知識編碼新知識，不僅有助于學生對新知識的理解和掌握，還能夠提高學生的數學自信與參與感.在探究兩角差的余弦公式基本形式的過程中，充分體現了學生主體、教師主導的教育理念和以學生發展為本的教學價值追求.學生是學習的主人，這里的教學設計充分發揮了學生的主體地位.學生不是被動的接受知識，而是根據已有的知識經驗主動探究兩角差的余弦公式的基本形式.在這一過程中，學生的運算能力與邏輯思維能力也得到了提高，真正做到以學生發展為本.除此之外，教師也注意了教學中教導的限度與施教方式.教師所提出的問題為學生留出了足夠的思考空間，旨在借助適當的“留白”和啟發式的教學方式鼓勵學生獨立思考，提高解決問題的能力.

(三)提出猜想、積極驗證

圖3

師：由于cosθ=cos(α-β)，我們就驗證了cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：同學們繼續思考，若α、β在其他象限，即α-β?[0，π]的情況下，結論還會成立嗎？

生：當α-β?[0,π]時，則存在k、m∈Z，使得α-β=2kπ+θ或β-α=2mπ+θ，即cos(α-β)=cosθ，cos(α-β)=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：非常正確.這就是我們這節課所要學習的兩角差的余弦公式，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設計意圖：這里以平面向量為工具，引導學生證明自己的猜想——兩角差的余弦公式的基本形式.基于學生已經掌握的平面向量的有關知識，引導學生求解兩向量之積，從而證明了猜想的合理性.這種教學方式自然地展現了知識的發生發展過程，教師環環緊扣，幫助學生順利地運用已有的知識推導出兩角差的余弦公式，學生便自然地將新知識“掛靠”到原有的認知結構中.

(三)學以致用、例題講解(略)

(四)小結評價、作業布置(略)

四、簡要結語

“以學定教”教學思想指導下提出的“三二一”數學教學模式要點能幫助教師設計出真正適合學生學習的教學.首先，教師在教學前必須充分了解學生的知識水平與認知方式，基于學情設計教學；其次，在教學設計中要拋出“好”的問題激發學生的求知欲，用適當的課堂“留白”和啟發式的教學模式引導學生自然地體會知識的發生發展過程，貫徹和落實學生主體、教師主導的教學理念，堅持以學生的發展為本，提高學生的運算能力、空間想象力、邏輯思維能力和初步應用數學的能力；最后，幫助學生真正掌握和理解新知識，并實現新知識的承載與編碼，將新知識融入到原有的認知結構中.這便實現了基于“三二一”要點的數學教學設計，也真正體現了“以學定教”教學思想的真正內涵與意義.