關注數學問題表征 培育數學抽象素養*

江蘇省南京市金陵中學 (210005) 于 健

所謂表征，即指兩個世界的特征或元素之間的一種對應，即用一種形式(物理或心理的)將另一種事、物、想法或知識重新表現出來，其本質即為指代對象的一個替代(如符號或符號集).數學表征是主體在理解某個數學結構時將該結構與一個更易理解的數學結構之間建立一個對應的心理過程.問題表征形式上分為兩種：一種是外在表征，即將問題以文字、數式、圖表、模型和實驗等具體的東西表示出來；另一種是內在表征，即問題在人腦中的思考.

數學抽象是六個數學核心素養之一，它是數學的基本思想，是形成理性思維的基礎，反映了數學的本質特征.它主要包括：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學思想與方法，認識數學結構和體系.在解題中運用數學抽象的方式思考問題，可以迅速識別模型，把握問題本質，啟發思考，化難為易，化繁為簡，不斷積累從具體到抽象的活動經驗，從而達到培育學生數學抽象素養的目的.培育學生的數學抽象素養關鍵是找到一個抓手，那就是為學生創造適宜的問題情景，引導學生探究具體的數學模型，揭示數學抽象的過程，讓學生理解問題的本質.因此，培養學生問題表征的能力顯得尤其重要.

本文是筆者結合自己多年的教學實踐，從問題表征的視角來談談在問題解決過程中培育學生數學抽象素養的一些想法，僅供參考.

1 方程表征，獲得數學概念和規則

將看似與圖形無關的方程，通過對條件的整合和合理變形，轉化為學生熟悉的具有幾何背景的代數式，再賦予合理的幾何解釋，從而將其表征為圖形，最后通過圖形清晰地呈現題設條件和結論之間的關系，更有利于學生對題意的理解，縮短審題的時間，迅速定位解題方向.

例1 已知x,y,z∈(0,+∞) ，且x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為.

評注：由題設條件容易聯想到圓的方程，根據條件和結論，將y看作常量，于是問題就化歸為學生熟悉的直線與圓的位置關系問題.還要注意變量的取值范圍對圖形的影響，再結合線性規劃思想和基本不等式知識求最值.本題也可通過拆項和配湊的方式，再結合基本不等式求解，這種方法技巧性太強，但是從圖形表征的視角思考問題更有利于將抽象的問題具體化，讓學生從代數結構向幾何形態轉化的過程中，獲得數學概念和規則，從而，讓學生的思維有了依靠，讓學生的解題有了新意，讓學生的理解更為深刻.

2 條件表征，形成數學思想與方法

深刻理解和充分整合題設條件信息是用好條件表征的前提，條件表征的過程其實就是理解條件，即將條件進行信息解釋、提取、組織、加工、表達的過程，在問題的解決過程中培育學生的數學抽象素養.

3 背景表征，認識題目結構和體系

深刻理解題意，充分了解題目所考查的目的，它是以什么方式呈現的，題目的結構形式是否繁雜，能否將陌生的問題熟悉化，復雜的問題簡單化等，挖掘命題的背景，認識題目的結構和體系，找準解題的切口，從而突破難點.

評注：該題是多元變量求最值的問題，通過對其考查背景的分析可以利用逐級求解的方式解題，解法1的背景是絕對值，把問題轉化為數軸上在[-1,1]之間的三個點之間的距離距離問題，將多變量減為單變量，再用基本不等式或函數的觀點求解.解法2是利用變量之間的關系構造方程，表征為方程，再借助于三角函數知識求解.兩種解法都讓學生感受如何將復雜難懂的問題抽象成簡單易懂的問題的過程，體現將數學抽象素養的培養落在實處.

4 模式表征，提出數學命題和模型

心理學的研究表明，人對數學模式的表征是有組織的，其組織的核心是一些語義相關的組塊.一些孤立的信息輸入人的大腦后經過篩選，進入短時記憶，再經過深加工，抽象出反映問題本質的有關信息的組合進入長時記憶，就形成模式表征[1].用好模式表征的關鍵是做好模式結構的識別、模式本質的分析、新舊知識的重組，數學語言的轉換等工作，只有準確識別模式，才能縮短思維時間，縮小探究范圍，達到迅速解決問題的目.

評注：求解該題的關鍵是要正確識別結論(m-p)2+(n-q)2的幾何表征，即點(m,n)與點(p,q)之間的距離的平方，那么兩個點又滿足什么樣的規律呢？自然就想到題設條件，將問題轉化為兩條曲線上的兩個動點之間的距離問題，這樣不但有利于學生發現規律，組織信息，更有助于擬定解題計劃，簡化學生的思維過程，在解題過程中培養學生的創造性和數學抽象思維能力.

數學抽象素養培養的關鍵是積累從具體到抽象的活動經驗以及抽象思維材料的定位和選擇；數學抽象素養落實的載體是創設提升學生思維能力的情景，依托學生熟悉的、關聯的以及符合考試要求的情境下以問題表征為背景設計問題，考查學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法等，更重要的是引導學生歸納和提煉“問題表征”的模式和方法，讓學生學會思考、學會學習，促進學生數學抽象素養的發展.

立足學情，精準定位，注重聯系，通過關聯、類比、聯想、創造等思維方式，將抽象思維材料化為可視化的具體材料，不斷拓展學生的抽象思維視域，探究學生的思維生長點.分析試題的結構，還原解題思路，讓學生了解命題的背景和意圖，更有針對性地引導學生解題，增強解題的時效性.在培育學生抽象思維的過程中，提高學生的理性思維能力，發現問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力，從而實現教學知識的遷移和整合，真正起到培育學生數學抽象素養的目的.