研高考試題，揭命題方法*
——以2020年山東卷導數壓軸題為例

江蘇省揚州中學 (225009) 戚有建 石青慧

一、考題展示

題目(2020年新高考山東卷21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求實數a的取值范圍．

點評：本題是2020年新高考山東卷21題，第(1)問考查導數的幾何意義，學生很容易上手，第(2)問考查用導數研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價轉化思想，有一定難度和區分度.本題結構簡潔、表達流暢、靜中有動、平中見奇、入口較寬，解法多樣，有內涵、有思想、有新意，令人回味無窮，極具教學價值和研究價值.本文重點研究第(2)問.

二、解法研究

(1)當0

綜上得a≥1.

解法2：(先從必要條件入手求出參數a的初步范圍，然后求f(x)min)

先考慮必要性：由f(x)≥1恒成立得f(1)≥1，即a+lna≥1，∵函數h(a)=a+lna在(0,+∞)上遞增且h(1)=1，∴a≥1.

再考慮充分性：當a≥1時，aex-1≥ex-1,lna≥0，∴f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx.

下面證ex-1-lnx≥1，可參考上面解法1中的的(2),過程略.

綜上得a≥1.

點評：解法2是先從必要條件入手求出參數a的初步范圍，然后在a≥1條件下再研究f(x)min，過程中借助aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx放縮處理讓問題顯得更簡單.另外，解法2中在證明ex-1-lnx≥1時也可以借助“切線不等式ex≥x+1，lnx≤x-1”來處理，過程為：由切線不等式ex≥x+1得ex-1≥x，而lnx≤x-1，所以ex-1-lnx≥1.

點評：主元法是處理多元問題的有效方法，當題目中含有常量、參量及變量等多個量時，可根據解題需要，選擇一個量作為主元，并以此為線索來解決問題，以此往往能起到事半功倍、意想不到的效果.

∴h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減，∴h(x)max=h(1)=0，∴lna≥0，即a≥1.

點評：解法4從題目的結構入手，構建同構不等式，借助單調性解題，非常簡潔，其中改寫成同構式的變形過程技巧性較強，而且變形過程中注意恒等式a=elna或a=ln(ea)的靈活運用，借此可以實現指數對數互化. 另外，要特別提出的是，構建同構式處理不等式實際上本質還是借助函數單調性來處理不等式，所以此種方法只能處理形如“f(x1)>f(x2)”結構的不等式.

三、命題方法

命題者是如何想到函數不等式aex-1-lnx+lna≥1的呢？其實命題者就是借助單調性和函數復合來編制本題的，過程如下：

第一步：先選定一個單調函數g(t)=et+t;

第二步：再選定一個不等式lnx≤x-1，然后引入參數得lnx≤x-1+m；

第三步：由g(t)=et+t的單調性得同構式不等式g(lnx)≤g(x-1+m)，即ex-1+m-lnx+m≥1；

第四步：將em換成a即得不等式aex-1-lnx+lna≥1.

四、方法應用

借助此命題方法，還可以命制出很多復雜的函數不等式問題，例如：

第二步：再選定一個不等式x>ln(x+1)>0；

第四步：改成整式得到問題：當x∈(0,+∞)時，證明(ex-1)ln(x+1)>x2.