題中無圓心有圓 圓來就這么簡單

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 盧 妮 蔡海濤

研究近年高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)解析幾何對(duì)“橢圓”和“拋物線”的考查難度有所下降，“直線與圓”的地位大幅度提升，具有數(shù)學(xué)文化背景的題目層出不窮.其中，有一類圓的問題在已知條件中沒有直接給出圓的有關(guān)信息，而是隱藏在條件中，需要通過分析轉(zhuǎn)化，從而發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，進(jìn)而利用圓的知識(shí)求解，這類問題稱為“隱形圓”問題．比如“蒙日?qǐng)A”、“阿波羅尼斯圓”等.“隱形圓”問題綜合性強(qiáng)，充分考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生答題有一定的難度.本文以幾道高考題和模擬題為例，探尋“隱形圓”問題求解策略.

一、利用圓的定義(到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡)確定隱形圓

例1 若與點(diǎn)A(2,2)的距離為1且與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線恰好有兩條,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)圓的定義得到隱圓，得到以點(diǎn)A(2,2)和點(diǎn)B(m,0)為圓心的兩個(gè)圓，這是本題的關(guān)鍵，進(jìn)而由已知條件得兩圓位置關(guān)系，從而求得m的取值范圍.

二、到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值確定隱形圓

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵在于確定動(dòng)點(diǎn)M的位置，根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)O的距離的平方和為定值，從而確定隱圓，突破了本題難點(diǎn).

三、動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A、B張角是90°(kPA·kPB=-1或確定隱形圓

例3 (2014年高考四川卷文9)設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P，則PA+PB的取值范圍是( ).

點(diǎn)評(píng)：本題解題的突破口是發(fā)現(xiàn)兩條動(dòng)直線的關(guān)系，由kPA·kPB=-1確定隱圓，得到P點(diǎn)軌跡，結(jié)合不等式性質(zhì)求解.

解析：由已知得以AB為直徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，易求得m的取值范圍為[4,6].

四、兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓

五、兩定點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足確定隱形圓(阿波羅尼斯圓)

六、由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓

點(diǎn)評(píng)：∠AOB=2∠C=90°知點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑OA,在優(yōu)弧AB上.

圖1

變式6 如圖1,四邊形AOCB,OA⊥OC,CA⊥CB,若AC=2,CB=1,則OB的取值范圍是.

由以上例題分析可知，“隱圓”問題著重考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的運(yùn)用，解決方法就是分析已知條件，從條件出發(fā)探求動(dòng)點(diǎn)軌跡，把隱形軌跡顯性化，從而發(fā)現(xiàn)圓，然后利用圓的知識(shí)求解問題.