一組高考試題引發的思考

甘肅省蘭州市第二十七中學 (730030) 陳鴻斌

1 問題呈現

問題1 (2020全國Ⅱ卷文21)已知函數f(x)=2lnx+1.

(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范圍；

問題2 (2020天津卷20)已知函數f(x)=x3+klnx(k∈R),f′(x)為f(x)的導函數.

筆者發現問題1的第(2)問與問題2的第(2)問滲透了高等數學背景——Lagrange中值定理、以及函數的凹凸性. 以高等數學知識為背景命制高考題在十年前曾是個熱點, 今年又重新體現, 而且有了新高度、 新角度, 推陳出新, 價值豐富. 雖然試題的設計來源于高等數學, 但是解決的方法仍是高中所學的數學知識, 對學生思維的邏輯性、抽象性以及學生的理解能力和自學能力提出了更高的要求, 著力考查數學核心素養.

2 高等數學背景解讀

問題1和問題2的第(2)就具有《數學分析》[1]中“Lagrange中值定理”的背景．

圖1

幾何意義：曲線在x=ξ處的切線與(a,f(a))和(b,f(b))的連線平行, 或者說, 曲線在x=ξ處的切線斜率與(a,f(a))和(b,f(b))的連線斜率相等. 如圖1所示.

圖2

問題2的第(2)還具有《數學分析》[1]中函數的凹凸性的背景．

定理設函數f(x)在[a,b]上連續, 在(a,b)內二階可導, 則f(x)在[a,b]是凸的充分必要條件是?x∈(a,b)有f″(x)≥0.特別地, 若此時在(a,b)中有f″(x)>0, 則f(x)在[a,b]是嚴格凸的.

幾何意義: 曲線落在(a,f(a))和(b,f(b))的連線的下方. 如圖2所示.

3 問題解答

點評：上述問題主要考查函數的單調性、極值、最值、導數、含參不等式恒成立、不等式證明等基本知識, 考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力. 作為一線的中學教師, 看到本題的表達形式, 應當要能夠領悟命題者的設計意圖, 背景來源于Lagrange中值定理、函數的凹凸性. 因此本題體現了高等數學與高中數學教學之間較好的銜接, 很好地考查了學生的學習潛能, 有利于高校選拔人才. 從筆者給出的中學解法和高等解法可以看出, 利用中學解法, 運算量大, 而且還要借助于第(1)問中所得結論才能實現第(2)的求解, 因此第(1)問的正確解答對第(2)問至關重要; 而利用高等解法第(2)就會變的獨立, 通過Lagrange中值定理、函數凹凸性可以將問題進行轉化, 使得運算量大大降低, 從而優化解題思路. 總之, 運用Lagrange中值定理、函數凹凸性求解上述題目的第(2)問, 比高考參考答案的解答簡便許多, 換個角度, 將問題會看的會更加透徹.