一個Milosevic不等式的再研究

重慶市鳳鳴山中學 (400037) 王 彬 西大兩江實驗學校 (400707) 蘇 鵬重慶市融匯沙坪壩小學 (400038) 宋雪珠

三角形是最基本的幾何圖形，其存在豐富的幾何關系和不等式，其中Milosevic不等式就是其重要結論. 自Milosevic不等式建立之后，其推廣形式層出不窮. 本文在前人得出的結論之上，充分應用三角形中的恒等式與Bottema基本不等式推出了Milosevic不等式的一個逆向不等式以及Milosevic不等式的一個加強. 另外，本文利用Gerretsen不等式還給出了一個形式更加簡潔的不等式鏈：

1. 引言

設△ABC的三邊邊長為a,b,c,三條邊上的高及旁切圓半徑分別是ha,hb,hc,ra,rb,rc,外接圓半徑和內切圓半徑分別是R,r,半周長和面積分別是p,S,循環和與循環積分別表示為∑,Π.

文獻[1]介紹了由D.S. Milosevic建立的如下不等式：

姜衛東老師在文獻[2]和[3]中對Milosevic不等式進行了研究，得到如下定理：

定理1[2]在△ABC中，有

定理2[3]在△ABC中，有

最近，郭要紅老師對Milosevic不等式進行了進一步探討，得到了兩個更加一般的不等式.

定理3[4]在△ABC中，有

定理4[4]在△ABC中，有

受到文獻[2]-[4]的啟發，筆者對Milosevic不等式進行了再研究，得到了不等式(1)的一個逆向不等式以及不等式(1)的一個加強. 另外，本文應用Gerretsen不等式還給出了一個形式更加簡潔的不等式鏈.

定理5 在△ABC中，有

(5)

定理6 在△ABC中，有

(6)

注：定理1-6中，不等式等號成立的條件是△ABC是正三角形.

2. 引理

為了證明定理5和定理6，需要給出如下引理.

引理1[5]在△ABC中，有∏a=4pRr;

∑ab=p2+4Rr+r2;∑a2=2(p2-4Rr-r2).

注：利用引理1可得如下恒等式[4]：

注：為了方便定理5和定理6的證明，這里需要將引理2中的不等式進行變形，得到

引理3 (Gerretsen不等式)[5]在△ABC中，有16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2.

注：引理2-3中，不等式等號成立的條件是△ABC是正三角形；Bottema基本不等式是Gerretsen不等式的加強.

3. 結論的證明

4. 注記