三次函數極值點特征分析

姜勇鋼

(江蘇省南通市海門第一中學 226100)

筆者借助本文，通過一道三次函數為原型題目的分析、解答、求解、歸類等，將一題的多種方法一一呈現，并通過題目的分析引領學生去深入分析、感悟題目，學會在對比中感悟，在感悟中應用，在應用中提升，在長期的教學引領下，實現減負高效的數學學習環境.

一、例題呈現

已知f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)，若函數f(x)有兩個極值點x1,x2，x1

方法一(直接代數運算)求導得

f′(x)=3x2+2ax+b，

所以x1,x2是方程

3x2+2ax+b=0

的兩個根，根據韋達定理得

又由題意得

所以g(x)=f(x)-f(x0)

=(x-x0)(x-x1)2

顯然它有兩個零點，分別為x1和x0.

方法二(平移代換)將f(x)的解析式作如下變形：

①

②

而g(x)=f(x)-f(x0)=[φ(t)+B]-[φ(t0)+B]=φ(t)-φ(t0).

③

所以原題等價于下列命題：

已知φ(t)=t3+At，若函數φ(t)有兩個極值點t1,t2，t1

顯然有兩個零點t0,t1.

二、方法總結

方法總結，并引領學生進行全面的解讀和反思，這是全面提升這道題目的價值所在，也是提升學生解題能力的關鍵所在，在這道題目上，我們可以做以下四個環節的總結與反思，分析與提煉、變式與拓展.

1. 判斷一個多項式的零點時，如果能因式分解，當然優先考慮因式分解.

在本題中，顯然有一個零點是x0，所以必有一個因式x-x0. 而這道題選擇作為參數x1,x2，消去a,b,x0，而不是通常地利用韋達定理轉化以a,b為參數，是因為x0的表達式中x1,x2的地位并不對等，無法湊出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本題可以推廣至一般情況，得到下列結論：

設三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有兩個極值點x1,x2，且x1

圖1

即點A在線段DB上的投影將線段DB分成1∶2的兩部分，點B在線段AC上的投影將線段AC分成2∶1的兩部分.

3.2016年天津高考壓軸題第(2)問即以命題為背景，求證A,F,C(D,F,B)橫坐標之間的關系.

現節選如下：

(文)設函數f(x)=x3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在極值點，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，

求證：x1+2x0=0；

(理)設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R，若f(x)存在極值點，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

4. 2013年廣東文數壓軸題第(2)問亦與此有關，節選如下：

設函數f(x)=x3-kx2+x，當k<0時，求f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

容易分析得該三次函數在[k,-k]上的圖像包括了DABC，所以最小值在左端點取得，最大值在右端點取得.而將函數與端點函數值作差，代數變形后判斷符號即可說明這一點：

f(x)-f(k)=(x3-kx2+x)-k=(x-k)(x2+1)≥0

以及f(x)-f(-k)=(x3-kx2+x)-(-2k3-k)=x3-kx2+2k3+x+k=x2(x+k)+2k(k2-x2)+(x+k)≤0.

易得m=f(k)=k，M=f(-k)=-2k3-k.

5. 平移代換是簡化問題的常用技巧，如上面的2016年天津高考題，經過平移代換之后，兩個命題是完全等價的，但是文科的題從面上看確實比理科題簡單，若我們能以運動的觀點來看函數圖像，不拘泥于表達式這件“外衣”，想必我們能更快地抓到問題的本質.

授之以魚不如授之以漁，在常態的課堂教學過程中，我們要致力于教育教學質量的訓練和提升，這就要求我們站在學生的高度，幫助學生去剖析相應問題的本質，舉一反三、一題多解、一題多變，在深入的研究中觸發學生的能力生長.