條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究

姚廷蘭 王 杏

(1.貴州省貴陽(yáng)市貴州民族大學(xué) 563000；2.貴州省遵義師范學(xué)院 563006)

王杏(1989.12-)，女，貴州省遵義人，講師，從事工程數(shù)學(xué)研究.

基金項(xiàng)目貴州省科技合作計(jì)劃項(xiàng)目《基于優(yōu)化理論的點(diǎn)云模型特征提取算法的研究》(項(xiàng)目編號(hào)：黔科合LH字[2016]7030號(hào))

一、條件極值簡(jiǎn)述

條件極值是指在一定的約束條件下求解最值問(wèn)題，其中拉格朗日乘數(shù)法就是最常用的方法之一.對(duì)于許多較難證明的不等式問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為一定約束條件下求解最值問(wèn)題，從而可以利用條件極值來(lái)解決不等式問(wèn)題.下面介紹二元和n元的情況：

(1)用拉格朗日乘數(shù)法求解二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的條件極值步驟如下：

作輔助函數(shù)

L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

再令Lx=Ly=Lλ=0，即是

解上述方程組，可得到穩(wěn)定點(diǎn)p0(x0,y0).

現(xiàn)需判斷該穩(wěn)定點(diǎn)是否為條件極值.如果是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，由問(wèn)題本身的性質(zhì)進(jìn)行判斷；如果不是實(shí)際問(wèn)題，可用二階微分法判斷.由此就可以把條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)的無(wú)條件極值問(wèn)題.這種方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法，函數(shù)L稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)，輔助變量λ稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù).

作輔助函數(shù)

令LX1=LX2=…=LXn=Lλ1=Lλ2…Lλm=0，即

解方程組得到可能的條件極值點(diǎn)，再根據(jù)題目判定.

因此，若用求函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法來(lái)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中一些較難的不等式證明問(wèn)題，就較為容易理解，如中學(xué)數(shù)學(xué)選修4-5以及高考真題中的不等式問(wèn)題.

二、條件極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

條件極值在不等式證明問(wèn)題中的應(yīng)用，先分析題目，需要找到約束條件和目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為條件極值問(wèn)題.通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)、求偏導(dǎo)、解方程組，

由此證明不等式.

例1(2019年全國(guó)Ⅱ卷)已知a,b,c為正數(shù)，且滿(mǎn)足abc=1，證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24

分析此題可看作在約束條件下求兩個(gè)函數(shù)的最小值問(wèn)題，進(jìn)而用拉格朗日乘數(shù)法求解.

證明：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)L(a,b,c,λ)=a2+b2+c2+λ(abc-1)

解之，有a=b=c=1.

(2)構(gòu)造輔助函數(shù)

L(a,b,c,λ)=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+λ(abc-1)

解之，有a=b=c=1.

考慮到在abc=1中，當(dāng)a充分大時(shí)，(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3的值可以充分大，從此題的實(shí)際出發(fā)，可推斷當(dāng)a=b=c=1時(shí)，函數(shù)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3的取得最小值24，所以有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

證明：設(shè)f(x1,x2,…,xn)=x1x2…xn，x1+x2+…+xn=m，用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造輔助函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=x1x2…xn+λ(x1+x2+…+xn-m)

2.在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

在實(shí)際的問(wèn)題解決中，也涉及到不等式證明的問(wèn)題.一般在有約束條件的情況下，可構(gòu)造輔助函數(shù)，分別對(duì)變量進(jìn)行求偏導(dǎo)，進(jìn)而求解方程組，最后把結(jié)果代入目標(biāo)函數(shù)中，即可證明.

例3農(nóng)夫現(xiàn)需做一個(gè)容積為1立方米的圓木桶用于盛水，怎樣設(shè)計(jì)此木桶才能使用料最少？

分析：此題可看作是一個(gè)條件極值問(wèn)題，容積為1立方米就是一個(gè)約束條件，如何使用料最省，就是看表面積的大小，表面積越小，用料就越少.

解設(shè)圓木桶的底面半徑為r,高為h，由題意可得容積V=πr2h=1，則表面積S=2πrh+2πr2.

構(gòu)造輔助函數(shù)

F(r,h,λ)=2πrh+2πr2+λ(πr2h-1)

求偏導(dǎo)，得到

例4(1)求周長(zhǎng)一定面積最大的矩形；(2)求面積一定周長(zhǎng)最短的矩形.

分析這兩個(gè)小題均是已知約束條件求最值問(wèn)題，采用求偏導(dǎo)數(shù)，列方程組求解的方法.

解(1)設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,寬為y,則面積為S=xy(x>0,y>0).

約束條件為C=2x+2y

令L(x,y,λ)=xy+λ(2x+2y-C)

所以，在所有周長(zhǎng)相同的矩形中，正方形的面積最大.

(2)設(shè)矩形的面積為S，約束條件為xy=S，

令L(x,y,λ)=2x+2y+λ(xy-S)

通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題的求解，可知在遇到有約束條件問(wèn)題時(shí)，也可選擇用條件極值法求解，較簡(jiǎn)便，容易下手.

3.在三角函數(shù)證明問(wèn)題中的應(yīng)用

雖然條件極值在三角函數(shù)證明問(wèn)題中的應(yīng)用較為不是太多，但若題目滿(mǎn)足條件極值法的條件時(shí)，也可通過(guò)找到約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，求偏導(dǎo)，解方程組，從而解決問(wèn)題.

不等式問(wèn)題貫穿于中學(xué)與大學(xué)中，應(yīng)用非常廣泛，而且還能開(kāi)拓學(xué)生的思維能力，所以探究不同的方法解決不等式問(wèn)題非常有必要.本文主要介紹了用《數(shù)學(xué)分析》中的條件極值法解決中學(xué)階段的部分不等式問(wèn)題，將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為條件極值問(wèn)題，就可以利用條件極值法來(lái)解決不等式問(wèn)題.實(shí)際上，利用多元函數(shù)的條件極值證明不等式，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，這種證明方法對(duì)于證明含有多個(gè)變量的不等式問(wèn)題是有效可行的，值得研究.