一類恒成立問題處理策略的再延伸

徐加華

(山東省新泰市第一中學 271200)

文[1]利用一個定理解決了一類恒成立問題，本人讀后受益匪淺.本文再將該定理推廣延伸如下.

定理：(1)已知函數y=f(x)在x=a處可導，且x∈[a,b)時f(x)≤(≥)f(a)恒成立，若函數y=f′(x)在x=a處可導，且f′(a)=0，則f″(a)≤(≥)0.

(2)已知函數y=f(x)在x=b處可導，且x∈(a,b]時f(x)≤(≥)f(b)恒成立，若函數y=f′(x)在x=b處可導,且f′(b)=0，則f″(b)≥(≤)0.

(注：y=f″(x)是函數y=f′(x)的導數.)

對于定理：已知函數y=f(x)在x=a處可導，且x∈[a,b)時有f(x)≤f(a)恒成立，若f′(a)=0.則f″(a)≤0. 我們試著從反面入手說明其正確性.

如果f″(a)>0，則y=f′(x)在x=a處右側附近的圖像單調遞增，又f′(a)=0.所以y=f(x)在x=a處右側附近滿足f′(x)≥0.于是y=f(x)在x=a處右側附近的圖像單調遞增，從而說明y=f(x)在x=a處右側附近滿足f(x)>f(a)，這與條件x∈[a,b)時f(x)≤f(a)恒成立是矛盾的，該定理正確！其他的結論類似說明其正確性.

下面舉例說明其應用.

例1已知f(x)=ex-1-x-ax2,當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解∵f(x)=ex-1-x-ax2,

∴f(0)=0,f′(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0.

f″(x)=ex-2a.

令f″(0)=e0-2a≥0,

又f′(0)=0，則y=f′(x)在x≥0時有f′(x)≥0，則y=f(x)在x≥0時單調遞增，又f(0)=0,從而說明當x≥0時，f(x)≥0恒成立.

說明：本題先利用定理得到f(x)≥0成立的必要條件，然后再證明其充分性.

例2 當x≥0時，ax2+1≤xex+e-x恒成立，求a的取值范圍.

解ax2+1≤xex+e-x?ax2+1-xex-e-x≤0.

令f(x)=ax2+1-xex-e-x，

則f(0)=0.

f′(x)=2ax+e-x-ex(x+1),

∴f′(0)=0.

f″(x)=2a-e-x-ex(x+2),

令f″(0)=2a-3≤0,

又f′(0)=0，則y=f′(x)在x≥0時有f′(x)≤0，則y=f(x)在x≥0時單調遞減，又f(0)=0,從而說明當x≥0時，f(x)≤0恒成立，即當x≥0時ax2+1≤xex+e-x.