數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換在集合中的應(yīng)用

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

眾所周知，數(shù)學(xué)語(yǔ)言分為文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.其中文字語(yǔ)言通俗易懂，圖形語(yǔ)言直觀形象，符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔抽象，各有所長(zhǎng)，相互滲透.而集合作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)內(nèi)容，在符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言之間尋求轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

一、文字語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換——由準(zhǔn)確到直觀

將文字語(yǔ)言抽象出來(lái)進(jìn)行符號(hào)化，借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換獲取信息，以圖釋譯，直觀形象．尋找集合語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)譯，就是把問(wèn)題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為圖形語(yǔ)言，從而達(dá)到快速解題．

例150個(gè)學(xué)生當(dāng)中會(huì)講英語(yǔ)的有36人，會(huì)講日語(yǔ)有20人，既不會(huì)講英語(yǔ)又不會(huì)講日語(yǔ)的有8人，既會(huì)講英語(yǔ)又會(huì)講日語(yǔ)的認(rèn)數(shù)為( ).

A.20個(gè) B.14人 C.12人 D.10

分析本題用文字準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，不少學(xué)生無(wú)從下手．若把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言，用韋恩圖表示出來(lái)，問(wèn)題即可迎刃而解．

解設(shè)50個(gè)學(xué)生為全集U，會(huì)講英語(yǔ)的學(xué)生為A，會(huì)講日語(yǔ)的學(xué)生為B，則既不會(huì)講英語(yǔ)又不會(huì)講日語(yǔ)的同學(xué)為(CuA)∩(CuB)，既會(huì)講英語(yǔ)又會(huì)講日語(yǔ)的同學(xué)為A∩B．

所以card(A)=36，card(B)=20，card(U)=50，card((CuA)∩(CuB))=8

即card(A∩B)=card(A)+card(B)+card((CuA)∩(CuB))-card(U)=14

故選B．

二、描述法與圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到直觀

對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的把握就是把符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)譯成通俗易懂或者直觀形象的圖形語(yǔ)言．

描述法表示集合，符號(hào)化的語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、抽象，在解決問(wèn)題時(shí)，往往難于突破，此時(shí)借助圖形的直觀，問(wèn)題就會(huì)事半功倍的效果．

例2 若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|5≤x≤16}，則能使A?B成立的所有a組成的集合為( ).

A．{a|2≤a≤7} B. {a|6≤a≤7}

C. {a|a≤7} D.φ

分析本題考查了含參集合的子集.涉及不等式時(shí)常常用數(shù)軸表示，在動(dòng)集合與定集合的相互關(guān)系中進(jìn)行分類(lèi)討論，通過(guò)圖形的直觀列出不等關(guān)系式，解不等式即可將問(wèn)題解決．

解(1)當(dāng)2a+1>3a-5時(shí)即a<6，此時(shí)A=φ，顯然滿足條件A?B；

(2)當(dāng)2a+1≤3a-5時(shí)即a≥6，此時(shí)A≠φ，則有

綜上所述，由(1)(2)可得a≤7，所以選C．

三、描述法與列舉法之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到具體

集合中的描述法與列舉法之間的轉(zhuǎn)換，就是通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息，并把這些信息同已有的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，分析出符號(hào)語(yǔ)言所表達(dá)的含義，將它一一列舉，從而達(dá)到解決問(wèn)題．

例3 已知A={x|x2+3x-4=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若B?A，則a的值為_(kāi)___．

分析本題涉及子集運(yùn)算及方程的求解．首先將集合A、B化簡(jiǎn)，描述法轉(zhuǎn)化列舉法，再進(jìn)行分類(lèi)討論即可將問(wèn)題解決．

解A={x|x2+3x-4=0}={1,-4}

(1)當(dāng)a=2，則B={x|x2-ax+a-1=0}={1}，顯然滿足條件B?A

(2)當(dāng)a≠2，則B={x|x2-ax+a-1=0}={1,a-1}，當(dāng)a-1=-4時(shí)即a=-3，此時(shí)A=B也滿足B?A．

綜上所述，a=2或a=-3．

四、描述法與描述法之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到直觀

集合語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、抽象，至美至簡(jiǎn)！在解決有關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，化抽象為具體，尋求更加具體、明確的等價(jià)條件，更加直觀、明了的數(shù)學(xué)知識(shí)，往往需要對(duì)描述法進(jìn)行再轉(zhuǎn)述，問(wèn)題就會(huì)豁然開(kāi)朗．

例4(2020·新課標(biāo)Ⅰ·2)設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，則a=( ).

A．-4 B．-2

C．2 D．4

分析本題考查集合的交集運(yùn)算及不等式的解法．在涉及一元二次不等式和一元一次不等式的解法，通常化簡(jiǎn)集合A，B，畫(huà)出數(shù)軸，再由交集的定義及韋恩圖，可得a的方程，解方程即可．

故選B．

點(diǎn)評(píng)常規(guī)命題思路是已知兩個(gè)集合求交集運(yùn)算．而命題專(zhuān)家這次拚棄傳統(tǒng)，逆向而行，知道交集求某一集合，這不愧是一種創(chuàng)新．

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過(guò)程，也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)和構(gòu)建的過(guò)程.在集合的教與學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在這三種語(yǔ)言之間進(jìn)行的切換、轉(zhuǎn)譯，從而達(dá)到重新認(rèn)識(shí)，獲得新知，進(jìn)而達(dá)到快速、有效的解決問(wèn)題．