高斯函數(shù)[x] 性質(zhì)及其應(yīng)用

文貴雙

(甘肅省天水市一中 741000)

高考試題根植于教材，但又不斷創(chuàng)新，將教材內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)巧妙結(jié)合，成為高考、競(jìng)賽的熱點(diǎn).高斯函數(shù)就是一個(gè)好的結(jié)合點(diǎn)，高斯函數(shù)出現(xiàn)在教材的習(xí)題中，各類考試中都有高斯函數(shù)的“倩影”，此類問(wèn)題新穎靈活，能更好考查學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高斯函數(shù)也叫取整函數(shù).取整函數(shù)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，且由于對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值[x]都是整數(shù)，故稱函數(shù)y=[x] 為取整函數(shù).

[x]滿足下面幾條簡(jiǎn)單性質(zhì)

(1)[x] 是整數(shù).

(2)[x]≤x<[x]+1.

(3)取整函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù),即對(duì)任意x1,x2∈R, 若x1

(4) 若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

(5) 若n是正整數(shù)，x∈R,則[nx]≥n[x]

(6) 若m是整數(shù)，則[x+m]=[x]+m，y=[x]的圖象如圖1所示.其圖象是一組階高為1的平行與x軸的線段，不包括右端點(diǎn)，這組平行線段成階梯狀，故取整函數(shù)亦稱階梯函數(shù).

而函數(shù)f(x)=x-[x]稱為x的非負(fù)純小數(shù)部分，并用“{x}”表示.任意一個(gè)實(shí)數(shù)都能寫(xiě)成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0,1)稱為小數(shù)部分函數(shù).f(x)=x-[x]圖象如圖2所示，是一個(gè)周期函數(shù).

高斯函數(shù)[x]是一個(gè)非常有趣的數(shù)論函數(shù)，在許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用，在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)與高斯函數(shù)有關(guān)的試題. 由于高斯函數(shù)[x]性質(zhì)不如初等函數(shù)(利如二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))多，使用起來(lái)不方便.所以涉及取整函數(shù)[x]的題目，有其特殊的技巧,下面舉例說(shuō)明其解法.

一、有關(guān)高斯函數(shù)求值題

例1Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1,S7=28.記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[lg99]=1.

(1)求b1,b11,b101；

(2)求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和．

故b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．

(2)記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1000=b1+b2+…+b1000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000]．

當(dāng)0≤lgan<1時(shí)，n=1，2，…，9；

當(dāng)1≤lgan<2時(shí)，n=10，11，…，99；

當(dāng)2≤lgan<3時(shí)，n=100，101，…，999；

當(dāng)lgan=3時(shí)，n=1000．

故T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893

例2 求 [log21]+[log22]+[log23]+…+[log22012]的值.

解[log21]=0，[log22]=1，[log23]=1，[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2，

當(dāng)2k≤n<2k+1時(shí)，[log2n]=k，k,n是自然數(shù)，故有：

原式=0+1×(22-2)+2×(23-22)+…+9×(210-29)+10×(2012-1023)

=1×2+2×22+3×23+…9×29+9890=8194+9890=18084

評(píng)注 例1，例2不需要什么技巧，只要理解取整函數(shù)的概念即可解決問(wèn)題.

二、有關(guān)高斯函數(shù)圖象題

圖3

A.函數(shù)f(x)在(m+1,+)上的值域?yàn)?/p>

B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)在(m,+)是減函數(shù)

D.函數(shù)f(x)在(m+1,+)上的最小值為

圖4

三、有關(guān)高斯函數(shù)方程題

評(píng)注型如[ax+b]=cx+d或[ax+b]+[cx+d]=e的方程通常利用取整函數(shù)的定義與性質(zhì)，結(jié)合換元法求解.

四、有關(guān)高斯函數(shù)的數(shù)列題

當(dāng)a=1時(shí)，x1=1，x2=x3=…=xn=1，但當(dāng)a=3時(shí)，x1=3,x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1,…，此時(shí)可以看出數(shù)列{xn}，從第二項(xiàng)起是以2為周期重復(fù)出現(xiàn)，不存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk，故②不正確.

評(píng)注本題借用取整函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，主要考查數(shù)列知識(shí)的靈活應(yīng)用和推理論證能力.本題是取整函數(shù)(高斯函數(shù))與數(shù)列二者交匯而成，設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思精妙，難度較大.解此類題的關(guān)鍵是理解函數(shù)[x]的意義.