全稱量詞與存在量詞在高考中的運用

劉兆云

(江蘇省寶應縣安宜高級中學 225800)

全稱量詞與存在量詞在最近的高考試題中頻繁出現，量詞作為一種工具顯得越來越重要.下面我們一起看看在高考中以什么樣的形式來考查“全稱量詞與存在量詞”這一知識點.

一、量詞在命題中的應用

例1(2009年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數學(理工農醫類))命題“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是( ).

A.不存在x0∈R, 2x0>0 B.存在x0∈R, 2x0≥0

C.對任意的x∈R, 2x≤0 D.對任意的x∈R, 2x>0

解析對含有一個量詞的命題進行否定時，不僅要對量詞進行否定，而且對后面的結論也要進行否定.本題“存在x0∈R”的否定是“任意的x∈R”，同時“2x0≤0”的否定是“2x>0”，故本題應該選擇D.本題容易誤選A，我們可以通過命題的真假來辨析，2x0>0 恒成立，即原命題：“存在x0∈R， 2x0≤0”是假命題；所以它的否定是真命題，而命題：“不存在x0∈R, 2x0>0”也是一個假命題.所以選項A是錯誤的.

評注含有一個量詞的命題的否定形式：一般有下面兩種情況：①“?x∈M,p(x)”的否定為“?x∈M,p(x)”;②“?x∈M,p(x)” 的否定為“?x∈M,p(x)”.

常用的正面詞語與它的否定詞語歸納如下：正面詞語分別為：等于；大于；小于；是；都是；都不是；相應的否定詞語分別是：不等于；不大于；不小于；不是；不都是；至少有一個是.正面詞語分別為：至多有一；至少有一；任意的；所有的；至多有n個；任意兩個；相應的否定詞語分別是：至少有兩個；一個也沒有；存在的某些；至少有n+1個；某兩個.

A．?a∈R，f(x)在(0,+)上是增函數

B．?a∈R，f(x)在(0,+)上是減函數

C．?a∈R，f(x)是偶函數

D．?a∈R，f(x)是奇函數

解析當a=0時，f(x)=x2是偶函數，即：?a∈R，f(x)是偶函數，所以選擇C.

例3 (2009年普通高等學校招生全國統一考試(寧夏卷)數學(理工農醫類))有四個關于三角函數的命題：

p2: ?x、y∈R, sin(x-y)=sinx-siny

其中假命題的是( ).

A.p1，p4B.p2，p4C.p1，p34.p2，p4

評注例2和例3都是要求理解“?”和“?”的含義；往往對于存在性問題只要找到一個滿足題意的解即可；而對于任意性(恒成立)問題要說明它是真命題需要證明，而判斷它是假命題時，只需要找到一個解說明原命題不正確就行.

二、量詞在函數問題中的應用

例4 (2007年普通高等學校招生全國統一考試(安徽卷)數 學(理科))若對任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，則實數a的取值范圍是( ).

A．a<-1 B．|a|≤1 C．|a|<1 D．a≥1

解析對于含有絕對值的問題，不妨先考慮去掉絕對值.①當x>0時,∴x≥ax,即x(1-a)≥0,∴1≥a;②當x=0時,∴0≥0恒成立,此時a∈R;③當x<0時,∴-x≥ax,即x(1+a)≤0,a≥-1.由于對任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，即|a|≤1.

評注分類討論時需分清何時取并集、何時取交集、何時只能分開寫.

例5 (2008年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數學(文史類))設a>1，若對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=3，這時a的取值的集合為( ).

A．{a|1

評注常見的全稱量詞是指：所有的、一切、任意一個、每一個、任給等；常見的存在性量詞是指：存在一個、至少有一個、某個、有的、有些等.要搞清楚題目中到底是恒成立問題還是有解(存在性)問題.

例6 (2007年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數學(文史類))設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x2，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是( ).

評注在解決含有參數的不等關系時，常采用分離變量的方法，將條件轉化為所求量與某個函數的不等關系.如:“tf(x)),若對于給定區間中的任意x原不等式恒成立，則t比f(x)的最小值小(t比f(x)的最大值大)就能保證原不等關系恒成立；而對于給定區間，則t比f(x)的最大值小(t比f(x)的最小值大)就能保證原不等式有解.