方程lnx=bx-a兩實根和的范圍及應用

許銀伙

(福建省泉州外國語學校 362000)

方程lnx=bx-a兩實根和的范圍問題，通常牽涉極值點偏移，是近幾年高考模擬卷中的熱點題型，在高考中也曾出現.本文通過研究得出常見的六個相關結論，并展示結論相應的推證方法及應用，旨在幫助同學們掌握這類壓軸題型的解決方法.

一、結論及證明

結論一當b=1時，若方程lnx=x-a有兩不同實根x1,x2，則x1+x2>2.

又因為x2>1，2-x1>1，f(x)在(1,+)上單調遞增，所以x2>2-x1，x1+x2>2成立.

結論二當b=1時，方程lnx=x-a有兩不同實根x1,x2，則有x1+x2>a+1.

證明設x11.

評注方法一應用二級結論，思路很難想到，需要經驗和探究，才可能摸索到.方法二的思路比較常規，但運算量大，而且需要用高等數學的知識才能解決.

結論三當b=1時，若方程lnx=x-a有兩不同實根x1,x2，則有x1+x2<2a.

評注結論三的證明仍然是采用了構造函數，利用新函數在極值點兩側的單調性，類似于結論一證明的方法一，運用分析法，它們新函數的構造應該都是自然會想到的.

利用結論二，仿照結論四證明，過程略.

利用結論三，仿照結論四證明，過程略.

二、應用例題

(1)求實數a的取值范圍；

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求證：x1x2>e2.

例3 已知函數f(x)=ex-kx-2k有兩不同的零點x1,x2，求證：x1+x2>-2.

記t1=x1+2，t2=x2+2，由已知得：t1,t2是方程lnx=x-(2+lnk)的兩不同實根，由結論一得：t1+t2>2，所以x1+x2>-2成立.

例4 已知函數f(x)=ex-3x-m有兩不同零點x1,x2，求證：ex1+ex2>6.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求證：2lnx1+lnx2<0.

解析(1)f′(x)=lnx-x+a，f′(x)有兩不同零點，可得a∈(1,+)(過程略). (2)由已知得：lnx1=x1-a，lnx2=x2-a，01，lnx1<0.由結論三得：x1+x2<2a.則2lnx1+lnx2

(1)求實數a的取值范圍；

例7 已知函數f(x)=x-lnx+a有兩零點x1,x2，且x1

(1)求實數a的取值范圍；

解析(1)實數a的取值范圍a<-1(過程略).

三、相應練習

(1)若x>0時，f(x)<0恒成立，求實數a的取值范圍；

2. 已知函數f(x)=lnx-x.

3. 已知函數f(x)=ex-ax2-ax(a>0)有兩個不同的極值點x1,x2.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)求證：x1+x2

參考答案