關于“等差數列的前n項和”教學素材、設計案例的思考與研究

祝 玲

(浙江省蘭溪市第一中學 321102)

一、問題提出

“等差數列的前n項和”的教學設計是一線老師比較喜歡研究的重點課題之一，也是目前賽課較熱門的內容之一．因為這節課中公式推導是最令人心馳神往的，也是各類期刊談論最多的，就是如何引入倒序相加法，推導出等差數列的前n項和公式，可謂仁者見仁，智者見智．筆者一直都在想，目前我們各省市有各種版本教材，對公式的推導設計有何異同？若沒有教材上提示或學生事先不預習，推導方法學生會想到嗎？學生想不到，老師又如何精心設計教學,引導學生自然而然探究出公式呢？基于以上思考，筆者查閱教科書和有代表性的期刊，進行研究，寫下拙文．

二、文獻研究

1.各種版本教材對等差數列前n項和公式推導的編寫比較

根據等差數列{an}的通項公式，上式可以寫成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n-1)d]

(1)

再把項的次序反過來，Sn又可以寫成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]

(2)

把(1)，(2)的兩邊分別相加，得

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an) (下稱含d的倒序相加法)

文[3]給出高斯的算術老師提出的問題：1+2+3+…+100=?指出高斯采用下列方法迅速算出正確答案：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050．也即說明了高斯解決了等差數列：1，2，3，…，n，…前100項的和的問題．人們從這個算法中受到啟發，用下面的方法計算1，2，3，…，n，…前n項和：由

再給出探究：高斯的算法妙在哪里？這種方法能夠推廣到求一般等差數列的前n項和嗎？自然給出數列前n項和定義，特別強調由高斯算法的啟示，用兩種方式表示前n項和Sn，一種是順序的，一種是倒序的，再相加，類似文[1]．

文[4]創設情景：某鋼材庫新到200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛(如圖4)，并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料？

設共擺放了n層，能夠成三角形垛的圓木料數為Sn，則Sn=1+2+3+…+n．指出這是一個等差數列的求和，如何計算呢？引出高斯小時候求當n=100的算法：有趣的是和文[2]、文[3]“配對求和”不同，這里給出倒序相加的思想方法：

S100=1+2+3+4+...+98+99+100=100+99+98+97+...+3+2+1

這兩個等式上、下對應項的和均為101，所以

用“你能從這個問題的解決過程中悟出求一般等差數列前n項和的方法嗎？”過渡到抽象概括階段，下同文[1]，但在旁白留有兩個問題，用來提煉數學思想方法．推導出公式后，給出它的幾何意義如圖5，在旁注中再次提及：這種思想方法，用圖形來說明就更清楚，在圖上拼一個倒過來的圖形，就成為各行有相同個數的平行四邊形，計算這個平行四邊形的個數就很容易了，如圖6．

文[5]和文[1]從情景圖引入到推出求和公式都一樣，只是將鋼管由原來7層改為6層，圖設計得更精美,如圖7．另外筆者也發現，文[5]將文[4]中的情景題放置在第2課時的練習題4中．

文[1]和文[5]由情景設置很容易和“倒序相加法”掛鉤，不拖泥帶水，單刀直入，學生看一眼就明白，無法進行探究性學習．盡管文[1]、[2]、[3]是人民教育出版社編寫的，在后兩文中沒有繼承前者的情景創設，筆者估計由于時代發展，當今小學生和初中生都能知道高斯速算的故事，所以由高斯速算創設情景是可行的．但是“高斯的算法與一般等差數列求和還有一定距離，因此教科書接下來設置了求1+2+3+……+n的問題，目的是引出求等差數列前n項和的一般方法：‘倒序相加法’．這樣，很自然地就過渡到一般等差數列求和問題”．

另外，我們無法考證將近250年前高斯到底用何算法，所以文[4]在不損“數學王子”形象情況下，揣測他用“倒序相加法”，實屬高明，這樣就為下面推導作好做好鋪墊，而不使人誤入歧途．另外五個版本教材都沒有利用等差數列性質，采用如下寫法：

Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1

(2)

(下稱不含d的倒序相加法)．

2．各種期刊對等差數列前n項和公式推導教學設計案例的比較

由于教材不同，加上每個老師對教材理解不同，學生學習程度不同，產生許多精彩紛呈的教學設計．

文[7]創設生活中的一個問題，引入新課:學校為美化校園,決定在道路旁擺放盆景.從校門口取出花盆到距校門1m處開始擺放,每隔1m擺放一盆,學生小王每次拿2盆,若要完成擺放30盆的任務,最后返回校門處,問小王走過的總路程是多少?

問題轉化求4+8+12 +…+60 =?出示課題，給出前n項和Sn的定義，重新叫學生計算:1+2+3+4 +…+100 =?(高斯10歲時的算法)．

老師又給出變式:1+2+3+…+99 =?

方法1 原式=(1+2+3+4+…+98+99+100) - 100.

方法2 原式=(1+2+3+4+…+98)+99.

方法3 原式= 0+1+2+3 +…+98+99

方法4 原式= (1+2+3 +…+49+51 +…+98+99)+50

方法5 原式= (1+2+3 +…+97+98+99+99+98+97 +…+3+2 +1)÷2

文[8]首先設計問題，創設情境．教師給出高斯小時候算過的問題1：求 1+2+3 +…+100=?學生中出現“配對求和”和“倒序相加法”．

問題2：如圖8，是一垛鋼管，最下面一層放了102 根，最上面一層放了3根，往上每一層都比它下面一層少放一根．這垛鋼管共放了多少根鋼管?

思考文中的兩個問題，起了“雙保險”的作用，若學生由問題1想不到倒序相加法，則問題2可以幫助學生想到；若第1問就能想到倒序相加法，則第二問題就是對倒序相加法的幾何解釋．“配對求和”是深入人心的方法．

文[9]問題1：用文[1]例題，只是將“120”改為“100”，進而引出求數列：1，2，3，4…100，…的前100項和，從而給出數列{an}前n項和的定義，點明主旨．師生共同探討S100=1+2+3 +…+100=？師生達成一致，用“配對分組”手段解決問題1．隨后給出點睛之筆：高斯算法的高明之處在于將不同數的求和問題轉化為相同數的求和問題．

問題2:求Sn=1+2+3 +…+n=?(n∈N*)學生自主探究，給出配對求和(對n分奇偶討論)和倒序相加法；最后再研究問題3：求等差數列{an}前n項和：

通過例1求梯形筆架中筆的支數，對倒序相加法作出幾何解釋，如下圖11-13.

思考求V形架里鉛筆支數這一生活問題既經濟又實惠，取材學生身邊問題，又能顧及到高斯的算法，還能為學生推導第二個求和公式服務，一箭三雕．難能可貴的是指明求和的本質就是“將不同數的求和問題轉化為相同數的求和問題”，這是本節課精髓所在，也是對倒序相加法最合理的解釋．在例題中沒有進行操練，而是通過問題再深入理解公式，領會這兩個公式的內在聯系．

三、嘗試設計

“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器”，筆者在學習了諸多優秀教學設計后，博采眾長，從順應學生思維自然性，符合學生認知規律出發，給出如下教學設計思路的框圖1所示.

教材呈現知識點限于編排要求具有經典性、綱要性、簡潔性，不可能像教輔用書上洋洋灑灑詳細闡述，關鍵是教師在備課時要了解學生受教育的背景，近期上課內容對該堂課的引領作用．此外不光有自己的想法，還要想學生所想，順著學生思維流程進行教學，這樣既不動聲色傳授了核心知識，又潛移默化培養學生的研究能力．

圖1