對比拓展 讓復習課更高效生動
——“橢圓中的定點問題”復習課教學重現

梁修曦

(湖北省十堰市鄖陽中學 442000)

一、課堂再現

圖1

生2：也可直接設MN的方程為y=kx+m，利用kAM·kAN=-1求得m與k的關系式，從而得到定點的坐標.

師：這兩種思路都很好，請你們寫出求解過程.

師：這兩種方法均為證明直線恒過定點問題的通性通法. 比較來看，那種方法稍好一些呢？

生3：方法1思路簡潔，依照題意直接計算即可.

生4：方法2目標明確，求哪條直線過定點，就設哪條直線方程為y=kx+m，再尋找m與k的關系式，計算都很常規.

生5：兩種方法都差不多.

師：既然大家難以取舍，接下來我們看變式1，再次體驗一下.

變式1在問題1中，將A點坐標改為(2，0)，其他條件和求證不變.

師：其他同學有什么辦法解決這個問題嗎？

師：回答正確，我們在解決定點問題中，有時要靈活運用圖形的幾何性質幫助我們的計算.再次對比，我們發現：方法1涉及到方程的化簡，有時會比較復雜，而方法2的計算量就稍小一些，運用起來更方便.

生9：問題1還有更簡單的解法！

師：好，請你給大家講一講.

生9：因為這里是兩直線的斜率之積等于-1，我們可以聯想到韋達定理.

師：非常精彩！這是此類問題的一種巧解.聯想到韋達定理，巧妙地將橢圓方程變形為以斜率為主元的二次方程，使計算量大幅減少，值得大家學習！

圖2

綜上知，以MN為直徑的圓恒過定點(0，1).

師：回答正確，這就是“找定點”問題的通性通法.其步驟是：先假設存在符合題目條件的點，再化圖形特征為代數計算，看能否找到方程的解.最后再驗證方程的解是否符合題目要求.其中會涉及到恒成立或代數式為定值的問題，需認真觀察式子的結構，找到對應的辦法.

最后，請大家再觀察問題1和2，它們有什么聯系？

生11：它們是對偶問題，問題1是已知以MN為直徑的圓過定點，求直線過的定點；問題2是直線轉動，求圓過的定點.

師：對，它們其實是同一個問題從兩種不同角度設問.這類問題有一個一般性結論，大家下課后可以繼續探究：

二、回顧與反思

在備本節復習課時，筆者的主要思路是設計一組關聯題目，求解時能用到“證定點”和“找定點”兩類問題的全部方法和技巧.問題1是一個“證定點”問題，解答中涵蓋了動點坐標設題法和動直線方程設題法，為了比較兩種方法的優劣，引入了變式1，同時也滲透了利用圖形對稱性輔助計算的技巧；利用韋定理巧解則是本節課的意外收獲，體現了學生思維的靈活多變.問題2是一個“找定點”問題，它需要“先猜后證”，把動態幾何特征變化轉化為代數計算，進而找到定點.而對恒等式的處理，也是學生的弱項，需要學生具備良好的觀察和分析能力.最后，通過對比，看清問題1和2的本質是同一個問題的兩種不同角度設問，進而提煉總結出一般性的結論.

總之，定點問題在高中圓錐曲線教學中是熱點問題，也是一個難點，它既考查學生的計算推理能力，更注重學生對動態問題的處理能力，鍛煉學生熟練地將“數”的計算與“形”的分析結合起來.圓錐曲線章節的復習課更需要精心地設計問題，通過橫向深挖縱向拓展，一方面可以減少部分重復的計算，直接進入核心的思維環節，又可以促進學生構建完整的知識網絡，讓課堂更高效生動.