發(fā)散思維 一題多解 提升能力
——以2020年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷第21題為例

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

2020年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第21題是一個(gè)三角函數(shù)題，考查了函數(shù)單調(diào)性、最值以及不等式證明.該題打破了若干年來(lái)超越函數(shù)ex、lnx與帶參一、二次函數(shù)的綜合題霸占?jí)狠S題位置的慣例，給我們一線教師帶來(lái)很多思考，尤其是第二問，值得研究.

一、試題呈現(xiàn)

(2020年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

(1)略；

(3)略.

二、解法探究

視角1 從極值的角度切入，用極值導(dǎo)出最值

證法1 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x，

化簡(jiǎn)整理得

f′(x)=2sin2x(4cos2x-1).

由于f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx，

于是|f(x)|=2|sinx|3|cosx|.

所以|f(x)|極值=0，

評(píng)析導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的有力武器，本函數(shù)易于求導(dǎo)，也易于找到極值點(diǎn)，借助三角函數(shù)圖像的連續(xù)特征，可以用極值代表最值，不僅可以解得最大值，也可以求得最小值.充分展示了導(dǎo)數(shù)的工具性.

視角2 從周期性入手，以局部研究整體

證法2 由于f(x+π)=sin2(x+π)sin2(x+π)=f(x)，

所以π是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.

f′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x

=2sinx(sin2xcosx+cos2xsinx)

=2sinxsin3x

當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，

于是

評(píng)析周期性是三角函數(shù)最典型的性質(zhì)之一，借助周期性可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，將抽象的問題具體化.本證法將無(wú)限不易具體量化的問題，變成了直觀的簡(jiǎn)單三角求值，回歸到課本，回歸到基礎(chǔ)，透視了問題的本質(zhì).

視角3 從均值不等式入手，依托sin2θ+cos2θ=1解答.

證法3 因?yàn)閒(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以f2(x)=4sin6xcos2x

評(píng)析本題題設(shè)中有絕對(duì)值，這為應(yīng)用均值不等式提供了必要條件，由于函數(shù)解析式能等價(jià)轉(zhuǎn)化為僅含有正弦函數(shù)和與余弦函數(shù)的乘積式，這使得同角三角函數(shù)基本關(guān)系sin2θ+cos2θ=1能夠派上用場(chǎng)，僅需要在構(gòu)造定值方面下功夫，事實(shí)上這不是一個(gè)難點(diǎn).由此可見，這個(gè)解法非常值得推廣.

視角4 從統(tǒng)一三角函數(shù)名稱入手，構(gòu)造高次函數(shù)解答

證法4 因?yàn)閒(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

所以|f(x)|=2|sinx|3|cosx|

再令z=t3-t4

評(píng)析基于正余弦的關(guān)系式，統(tǒng)一三角函數(shù)名易于實(shí)現(xiàn)，通過換元能構(gòu)造定義域已知的高次函數(shù)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求高次函數(shù)的最值，借助導(dǎo)數(shù)很容易完成解答.需注意換元時(shí)次數(shù)的選擇.有興趣的同仁，試一試將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)，也是可行的.

視角5 從萬(wàn)能公式入手，構(gòu)造新函數(shù)解答

則f(x)=sin2xsin2x

=2sin3xcosx

這是一個(gè)奇函數(shù)，僅需研究t∈[0,+)的情形.

求導(dǎo)得

評(píng)析萬(wàn)能公式能夠統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，換元后可以統(tǒng)一變量，就本題而言也沒改變自變量的取值范圍，為應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值奠定了基礎(chǔ).這個(gè)證法思路簡(jiǎn)潔，條理清晰，在平時(shí)教學(xué)中稍作訓(xùn)練，學(xué)生一定能掌握這個(gè)技巧.

三、題目溯源

有經(jīng)驗(yàn)的老師會(huì)發(fā)現(xiàn)，與這道題類似的題目曾經(jīng)在2018年高考中出現(xiàn)過：(全國(guó)Ⅰ卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.此題考查的知識(shí)點(diǎn)、解題方法與今年這道題十分雷同，難度不比今年這道題小，處于當(dāng)年小題壓軸題位置，起到了很好的把關(guān)作用.這告誡我們，研究高考真題是我們高三的一個(gè)必修課，并且要善于總結(jié)和拓展，以應(yīng)對(duì)“新”題目.事實(shí)上，今年其他高考試卷中也存在不同程度的“老”題翻“新”的現(xiàn)象.筆者對(duì)2018年的這道題也曾經(jīng)嘗試著用五種解法解答過，限于篇幅，此處給出其中一種，供參考.

f′(x)=2cosx+2cos2x，由f′(x)=0得，2cos2x+cosx-1=0，

當(dāng)sinx=0，cosx=-1時(shí)，f(x)=0.

四、變式拓展

1.已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x，求f(x)的值域.

說明 本函數(shù)是奇函數(shù)，所以與今年高考原題異曲同工.

2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x，求f(x)的最大值.

說明：將原函數(shù)的乘積關(guān)系換成求和，問題難度下降，屬于傳統(tǒng)三角函數(shù)性質(zhì)問題.

3.已知函數(shù)f(x)=sinx+sin2x，求f(x)的最小值.

說明：將兩項(xiàng)的次數(shù)錯(cuò)開，問題難度隨之提升，屬于創(chuàng)新題目.

4.已知函數(shù)f(x)=sinxsin2x，求f(x)的極值.

說明：本函數(shù)是偶函數(shù)，問題變?yōu)闃O值，需要能明白函數(shù)的單調(diào)性，以確定極大值(極小值)，本質(zhì)并未改變，僅需理清概念.

以上變式題都很有意思，有興趣的同仁可以繼續(xù)展開比較研究.

三角函數(shù)的值域(最值)問題既有傳統(tǒng)的題型，使用純?nèi)侵R(shí)可以解答；也可和其它模塊內(nèi)容融合在一起進(jìn)行創(chuàng)新，這類題目往往具有開放性，不局限于使用三角知識(shí)解答，借助一些其他知識(shí)，如均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、圓錐曲線等，可能更加方便，能綜合考查學(xué)生素養(yǎng).在教學(xué)中，我們既要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，更要在創(chuàng)新上下功夫，方可達(dá)到高考的選拔性要求.