一道省質檢試題的八種解法

蔡海濤

(福建省莆田第二中學 351131)

(1)求f(x)的極值；

(2)若exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，求正實數m的取值范圍．

解(1)當a>0時，f(x)的極小值為f(a)=1-2lna，無極大值；當a<0時，f(x)的極小值為f(a)=1-2ln(-a)，無極大值．(過程略)

(2)解法1 由(1)知，當a=1時，f(x)=x-lnx在(0,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因為exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以

所以當00,當x>1時,g′(x)<0；

因此g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+)上單調遞減， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正實數m的取值范圍為

所以當00，當x>1時，h′(x)<0，所以h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+)上單調遞減，所以h(x)max=h(1)=1，所以h(x)≤1，即所以當時，成立，即原不等式恒成立．

所以H(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，所以

由(1)知，lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立．

(ⅱ)當x>1時，由lnx≤x-1得(1-x)lnx>(1-x)(x-1)=-1+2x-x2，

又因為k′(1)=0，所以當00，當x>1時，k′(x)<0，所以k(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+)上單調遞減，所以k(x)max=k(1)=0，所以k(x)≤0，所以exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，當且僅當x=1時等號成立，所以正實數m的取值范圍為

在解題教學中，教師要善于挖掘數學問題的深層本質，尋找題目條件與結論之間的邏輯關系，幫助學生準確審題、獲取解題思路，通過一題多解拓展學生的思維．