函數與不等式齊驅并駕 多角度解決最值問題
——2020年全國Ⅱ卷第21題一題多解探討

張培杰 韓 業

(云南省大理大學教師教育學院 671000)

韓業(1996.6-)，男，大學，從事數學教學研究.

一、真題再現

(2020年全國Ⅱ卷第21題)已知函數f(x)=sin2xsin2x.

(1)討論f(x)在(0,π)的單調性；

通過觀察題目發現，該題以三角函數為背景，考查判斷函數在區間內的單調性、求函數值域、不等式證明等多個知識點. 題目綜合性強，難度較大，對考生的邏輯推理能力和運算能力有較高的要求，很好的體現了課程標準要求的核心素養導向，具有高考命題需要的區分度. 下面重點給出第(2)問的一題多解，對于第(1)、(3)問僅給出一種可行的解答.

二、真題解析

(1)分析要討論函數f(x)在區間內的單調性，只需要求導，由導函數值在區間內的正(負)可得到原函數在區間內單調遞增(減)，該題是常規考法.

解答對函數f(x)=sin2xsin2x求導，得f′(x)=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x(2cos2x+1)，

分析1 直接求導，利用函數單調性求最值. 要想求出函數的最值(取值范圍)，借助導數先判斷單調性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助導數解答這個問題.

評析這種解法是能夠容易想到的，觀察解答過程可以發現，對計算的要求較高. 此外，需要考生對三角函數的圖象性質非常熟悉才能由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)正確的求出x的范圍. 體現了數學運算核心素養，考查學生的綜合運用能力.

分析2 利用三角函數周期性，轉化為連續函數在區間上的最值問題. 周期性是三角函數的一個重要性質，該題以三角函數為背景，易想到利用周期性解決. 由三角函數周期性，可以把問題轉化為求一個閉區間內的最值問題，只要求出函數在這個區間內的最值即可.

解答2由題意，f(x+π)=sin2(x+π)sin2(x+π)=f(x)，所以π是f(x)的一個周期.因此，問題可以轉化為：

評析這種解法較為靈活，要求學生具有抽象概括的能力、直觀想象的核心素養，能夠在看到三角函數時候即想到周期性，并將問題轉為為一個閉區間上的最值問題. 學生在平時復習中，要熟練掌握基礎知識，還要注意抽象概括能力的培養.

分析3平方處理，利用四元均值不等式證明.題目要證的式子中含有絕對值，可以通過平方去掉絕對值. 平方后，問題轉化為求乘積的最大值，可以構造四元均值不等式.

解答3 由題意，

[f(x)]2=sin4x·sin22x

=4sin6x·cos2x

分析4 先降冪化次數為1，再平方處理，利用四元均值不等式證明. 題目所給函數表達式兩個因式的次數不統一，可以利用降冪公式把兩項次數都化為1. 此時，再通過平方去掉絕對值，問題再次轉為為求乘積的最大值，可以構造四元均值不等式.

解答4 由題，

評析這兩種解法都蘊含兩個關鍵思路，一是看到絕對值想到通過平方取絕對值，二是能夠想到均值不等式中“和定積最大”解決最值問題. 不同的是，解法3直接平方處理，解法4先降冪再處理.不論哪一種解法，都要求對三角函數相關公式非常熟悉，有較強的運算能力才能正確解答. 此外，教材中所學的是二元均值不等式，這兩種解法都用到四元均值不等式，要求學生具有較強的邏輯推理能力.

將x依次替換為2x,22x,23x,…,2n-1x，

累乘，得

sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)·sin6(23x)

·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)

又因為sin6x·sin6(2x)·sin6(22x)

·…·sin6(2n-1x)·sin6(2nx)

=(sin2x·sin4(2nx))·sin4x·sin6(2x)·sin6(22x)

·…·sin6(2n-1x)·sin2(2nx)

評析該題涉及到三角函數性質，絕對值處理，數列累乘，放縮證明不等式等知識點和相關方法，綜合性強，難度較大，很好體現了高考的選拔性功能. 在平時復習中，首先應注重夯實基礎，其次要注意多個知識點的融合，培養學生的綜合運用能力.

可以發現，高考數學壓軸題融合的知識點較多，綜合性強，難度大，是最容易體現高考區分度的題型. 基于對今年高考題的分析解答，提出如下復習建議：

1.重視基礎知識學習，強化基本技能訓練

基礎知識是“四基”能力培養和核心素養養成的最重要載體，概念的形成過程就是數學抽象和數學建模的過程.因此，要深刻理解相關知識的基本概念，理解公式定理的形成過程，掌握基本方法的適用“題境”，加強審讀問題、分析問題、解決問題的訓練.

2. 關注數學思想方法的應用，培養數學核心素養

在平時教學和學習中，引導學生正確使用數學思想放方法分析問題，訓練他們抽象概括、轉化問題的能力，提高數學運算能力，從多個方面培養數學核心素養.

3. 研究高考命題思路，總結命題規律

高考試題是命題專家根據《課程標準》和考試大綱精心打造的，復習通過研讀近些年的高考試題，分析理解命題思路、意圖和理念，總結命題規律. 通過研讀高考題，避免大搞題海戰術，實現高效備考.