析構時間相關模型的面對稱飛行器機動估計

盧曉東，辛佳寧，顧嘉耀，王俊康，程 承

(西北工業大學航天學院，西安 710072)

0 引 言

隨著現代戰斗機的空中機動能力不斷增強，防空導彈為提高制導精度迫切需要對戰斗機的大機動加速度實現有效估計。然而目前防空雷達對飛機目標的測量信息只有角度、距離和多普勒速度等，這些觀測信息對飛機大機動過載的表征能力有限，因此對飛機機動加速度估計精度并不理想。現有對于空中非合作機動目標的估計研究主要集中在目標運動學精確建模和濾波估計方法的改進[1]。其中目標運動學建模是對目標飛行器飛行動力學的直接表述，因此是提升目標機動信息估計精度的最重要手段。

目前對于空中非合作機動目標的運動學建模方法主要歸納為兩種方式：一種是將目標機動作為坐標系解耦的隨機過程，采用統計學方法建模；另一種是考慮目標機動時的飛行動力學方程，將動力學、氣動作用和大氣模型簡化得到目標運動模型[2]。

對于單純使用統計學方法對目標機動建模的典型運動模型有：勻速運動(CV)模型、勻加速運動(CA)模型、Singer模型、Jerk模型和“當前”統計(CS)模型等。其中CV模型和CA模型簡單地認定加速度為常值，難以描述目標的真實機動特性[3-4]；Singer模型、Jerk模型和“當前”統計(CS)模型將目標的加速度和加加速度近似為時間相關，這使得模型能較好地描述目標機動的統計特性[5-13]。這些模型雖然具有較好的通用性和覆蓋性，但其完全忽視飛行器動力學中各通道間的耦合作用，因此空中目標進行大機動時難以滿足其統計特性假設。

對于采用動力學方程建模的方法能夠更加真實地描述目標的實際運動物理狀態，從本質上說更具科學性，諸如勻速轉彎(CT)模型就特別適合民航飛機勻速轉彎的過程。但是由于空中非合作目標的動力學模型參數難以獲取，因而這些模型參數通常作為待估狀態量或者事先人為設定。近幾年來，喻晨龍等[1]、王樹亮等[14]、李凡等[15]、郭相科等[16]、張凱等[17]和Hough[18]等學者將模型氣動參數作為隨機變量利用統計學方法和神經網絡等方法建模，實現了動力學模型參數的自適應調整，取得了較好的仿真效果。

文獻[1]針對高臨近空間高超聲速滑翔目標，在雷達測量直角坐標系下引入縱向通道和橫向通道的角度域模型，將傾角變化率和方位角變化率描述成零均值正弦自相關隨機過程。文獻[14]以CS模型為基礎，引入神經網絡和“記憶”模塊，用感知信息熵來描述目標跟蹤不確定性，實現了對目標運動參數的自適應調整。文獻[15]以臨近空間滑躍式高超聲速目標為對象，在橫縱向機動樣式方面將氣動加速度中的阻力與爬升加速度建模為二階時間相關模型，使加速度自相關函數具備周期性與衰減性。文獻[16]針對臨空高速飛行器滑躍階引入Sine模型的加速度正弦波的零均值隨機過程，用于描述目標的規律跳躍。文獻[17]針對高超聲速滑翔目標將縱向和橫向機動等效為一階時間相關模型，并將對轉彎和爬升參數和機動頻率引入構建動力學交互多模型。這些方法是將飛行器動力學與統計學及智能感知技術相互融合，這有助于對高超飛行器大機動的跟蹤研究。但是這些論文主要關注于高超飛行器的滑翔跳躍階段機動，及類似正弦的周期性機動研究，而對于大氣層內的面對稱飛行器(飛機)目標的大滾轉角機動缺少針對性研究。

本文針對上述建模方法未考慮飛行器動力學各通道耦合問題，基于面對稱飛行器大機動過載主要取決于主升力面的滾轉角和主升力的物理關系，提出對面對稱飛行器動力學析構后簡化為兩個時間相關物理量(主升力面滾轉角和主升力)，從而建立面對稱飛行器的動力學析構時間相關模型(DTDM)。隨后基于分段定常系統可觀測性理論和奇異值分解法驗證了該模型對飛行器大機動的可觀測性優于現有方法。最后該模型結合容積卡爾曼濾波(CKF)對戰斗機大機動時加速度估計進行了數學仿真校驗。

1 面對稱飛行器動力學析構降階

本文以防空雷達對現代戰斗機探測為應用背景，通過對目標飛行器進行動力學和統計學建模，實現對面對稱飛行器大機動加速度的精確估計。考慮到防空雷達多為視距探測方式，探測距離一般在300 km以內，因此地面可近似為平面大地，且不考慮地球自轉，即地面坐標系視為慣性坐標系。由于現代戰機大機動主要通過改變飛行器主升力面滾轉角和主升力面上的氣動力來實現，因此面對稱外形戰機的機動過程中受力關系如圖1所示。

圖1中Oxyz為慣性坐標系(同地面坐標系)，G為重力，方向鉛垂向下。Ox3y3z3為飛行器速度坐標系，γV為飛行器速度滾轉角(即主升力面滾轉角)，氣動力在速度系下分解為主升力面升力Y、側向力Z和阻力X。根據現代戰機的飛行特點，其側滑角很小，故可忽略側向力Z，戰機巡航時的發動機推力P與阻力X基本平衡。因此飛行器的大機動過載主要取決于主升力Y和重力G的作用，其中主升力的大小Y(t)和速度滾轉角γV(t)可近似寫為如下函數：

圖1 面對稱飛行器的機動受力關系圖

(1)

(2)

為避免對這些不確定參數的估計，本文對式(1)和式(2)采用析構方法進行簡化。考慮到在短時間內氣動參數可近似為常值不變，各個姿態角、氣動攻角和舵偏角在濾波周期內的變化連續且變化范圍有限。因此可以近似假設速度滾轉角和主升力為寬平穩隨機過程，那么根據速度滾轉角的時間相關函數RγV(τ)寫為指數形式為

(3)

主升力面氣動力Y(t)可等效為主升力過載N(t)，則其時間相關函數表示為

(4)

將速度滾轉角和主升力面過載的時間相關函數采用Wiener-Kolmogorov白化為輸入為白噪聲的一階時間相關模型，則N(t)的時間相關模型為

(5)

γV(t)的時間相關模型為

(6)

至此通過“當前”統計模型近似描述主升力過載N(t)和速度滾轉角γV(t)的變化規律，從而將縱向和側向平面的受力綜合考慮，能夠更好地描述面對稱飛行器的機動特性，從而實現對目標飛行器機動趨勢的估計。

2 面對稱飛行器的運動模型建立

(7)

由此構建目標飛行器運動狀態量更新方程為

(8)

式中：ax(t),ay(t),az(t)是目標飛行器在地面坐標系下的加速度，其為待估變量。現有的Singer模型、Jerk模型和CS模型都是將其等效為噪聲或相關過程，這種假設只是統計學和隨機過程中的近似，因此對強機動目標估計時往往效果不佳。

本文的創新點正在于通過將γV(t)和N(t)引入三個加速度的動力學關系，從而在動力學層次上構建ax(t),ay(t),az(t)的演化關系。由于速度滾轉角γV(t)和主升力過載N(t)是在飛行器速度坐標系下描述，因此需要推導至地面坐標系，并與地面系下的加速度建立約束關系。

在飛行器速度坐標系下，由氣動力和推力產生的合加速度atV可近似表示為

(9)

式中：g為重力加速度。

將速度系下的合成加速度atV通過坐標轉換到地面坐標系，并考慮重力加速度g后得到目標實際加速度ag為：

(10)

(11)

(12)

其中彈道傾角θ和彈道偏角ψV可由狀態變量解算：

(13)

3 面對稱飛行器的機動濾波方程

根據上述推導可得到面對稱飛行器在地面坐標系下的離散狀態方程以及測量方程。

1)目標運動模型的離散狀態方程

假設雷達采樣周期為T，將連續時間離散化，可得面對稱飛行器的離散狀態方程為

X(k+1)=F1X(k)+F2{f[X(k)]}+

w(k)=φ[X(k)]+w(k)

(14)

式中：

其中，f[X(k)]的下角標表示f[X(k)]的某行到某行，如f[X(k)][4～6]表示f[X(k)]的第4行到第6行，w(k)為系統噪聲。

2)主動式雷達的離散量測方程

假設測量雷達為地面靜止雷達，在地面坐標系下對目標飛行器進行主動式測量，可獲得目標與雷達的徑向距離r，目標高低角ε和目標方位角β。則觀測方程中非線性量測函數H[X(k+1)]為：

H[X(k+1)]=

(15)

則系統的量測方程Y(k+1)可表示為：

(16)

式中：r為雷達與目標的徑向距離，ε為高低角，β為方位角；ν(k+1)=[nr(t),nε(t),nβ(t)]T為量測噪聲，包含雷達的距離、高低角和方位角測量噪聲。

4 可觀測性分析

由于系統的可觀測性會影響濾波的精度，為確保DTDM模型濾波精度，下面對模型中各個狀態量的可觀測性進行分析。考慮到系統的可觀測性與系統噪聲和觀測噪聲無關，故使用齊次系統方程討論DTDM模型的可觀測性。齊次系統模型如下：

(17)

首先求取非線性函數φ(·)和H(·)的雅克比矩陣，將系統近似線性化，再根據分段定常系統(PWCS)可觀測性理論和奇異值分解法(SVD)[20]對系統的可觀測性進行分析，得到系統的提取可觀測矩陣(SOM)在不同目標機動加速度下的奇異值。

表1 SOM在不同目標機動加速度下的奇異值

下面將本文所提出的動力學析構時間相關模型(DTDM)與文獻[11]中的改進“當前”統計模型(MCSM)和Jerk模型進行可觀性對比。下面給出目標飛行器機動最大加速度為9g時，DTDM,MCSM和Jerk模型的系統提取可觀測矩陣的奇異值，結果如表2所示。

表2 不同模型的可觀測矩陣奇異值

從可觀性結果分析可以看出，在目標加速度均為9g時，DTDM系統對目標飛行器運動信息的可觀測性更高，尤其是對目標加速度的可觀測性要明顯優于其余兩個模型。這也從可觀性方面驗證了本文提出的DTDM方法對目標飛行器機動信息進行估計要比基于MCSM和Jerk模型的方法更具優勢。

5 仿真校驗

本文以現代戰斗機進行典型躲避機動為例進行跟蹤，假設目標最大機動加速度為9g，飛行初始速度為[200 m/s,0,0]，初始位置為[0,5000 m,0]，目標真實飛行軌跡如圖2所示。

圖2 目標真實飛行路徑

仿真時導彈初始地面直角坐標系位置為[30000 m,5000 m,3000 m]，在地面系下的初始速度為[-700 m/s,0,-100 m/s]，雷達采樣時間為0.01 s，量測距離誤差標準差σr=5 m，高低角和方向角的量測誤差標準差σε=σβ=0.1°，用MCSM和Jerk模型與DTDM進行對比仿真。MCSM取機動時間常數為10，Jerk模型取機動時間常數為15，DTDM取機動時間常數為12，濾波方法使用CKF，蒙特卡洛次數N=50。以各個狀態的估計誤差均方根(RMSE)來衡量估計精度：

(18)

圖3為DTDM對面對稱飛行器主升力面滾轉角和主升力過載產生的機動加速度的跟蹤曲線。

圖3 主升力面滾轉角和主升力機動加速度跟蹤曲線

圖3顯示DTDM對主升力過載產生的機動加速度能夠較好跟蹤，而對目標主升力面滾轉角估計雖有延遲，但對其變化趨勢仍有較好跟蹤。為直觀比較各模型的估計精度，表3給出各運動模型位置、速度和加速度估計誤差的多次仿真最大值的均方根。

圖4給出了目標在地面系下三方向加速度的估計誤差均方根，為顯示清晰在畫圖時進行了數據稀疏化。圖4顯示在目標機動變化較小時，DTDM對加速度估計精度和MCSM及Jerk模型相當；在80～100 s之間，y軸和z軸上有強機動時，DTDM對加速度估計精度比MCSM和Jerk模型都高。這是因為MCSM沒有考慮加加速度變化，只是對加速度上限進行了自適應；而Jerk模型考慮了加加速度影響，但將其描述為零均值的時間相關模型。DTDM則考慮了面對稱飛行器的主升力面過載與滾轉角之間的耦合約束關系，而非單維度的統計學關系；其次DTDM將主升力過載和滾轉角作為非零均值相關模型，其理論精度階數不小于Jerk模型。此外從表3可以看出，在目標機動為9g的時刻，DTDM對加速度估計誤差相比其他方法要小一半以上。

表3 不同模型的位置、速度和加速度估計誤差最大值的均方根

圖4 加速度估計誤差均方根

6 結 論

本文針對面對稱飛行器提出了一種利用動力學模型析構降階構建的時間相關運動模型(DTDM)。其利用時間相關過程和飛行器動力學分解方式構建了動力學析構時間相關運動模型，并根據分段定常系統(PWCS)可觀測性理論和奇異值分解法(SVD)對該模型的可觀測性進行分析，分析結果表明其可觀性優于“當前”統計運動模型及其改進模型。最后針對現代戰機的典型機動軌跡進行了仿真校驗，仿真結果表明采用DTDM對面對稱飛行器的機動加速度估計精度高于改進“當前”統計模型和Jerk模型。這種對空中大機動目標的機動加速度的較精確估計，將有利于提高防空導彈攔截目標時的制導精度。