Ease-off拓撲修形準雙曲面齒輪齒面數控修正

蔣進科，方宗德，劉紅梅

(1.長安大學 a.汽車學院;b.汽車運輸安全保障技術交通行業重點實驗室，西安 710064;2.西北工業大學 機電學院， 西安 710072)

準雙曲面齒輪廣泛應用于車輛主減速器，其齒面復雜且加工難度大。目前在汽車工業中運用最廣泛的是刀傾半展成銑齒法(HFT)，其齒面設計、加工一直是研究的重點。國內外學者對準雙曲面齒輪的齒面設計、加工方法等進行了大量研究：局部綜合法[1]、高階傳動誤差齒面[2]、主動設計方法[3]、全局綜合法[4]、刀傾全展成切齒法[5]及雙螺旋切齒法[6]等，主要集中于修正搖臺型機床運動參數的拋物線傳動誤差齒面，盡管這種局部共軛齒面可有效避免齒面邊緣應力集中現象，但造成了齒輪副失配量過大，導致強度降低及承載變形過大，因此不能從根本上改善齒輪副動態嚙合特性。

為了更為直觀控制齒面失配量，一種相對于共軛齒面的修形即齒面ease-off修形技術已成為螺旋錐齒輪齒面設計與加工的研究熱點，其較傳統的修形方法不僅直觀而且避免了復雜的齒面曲率計算。文獻[7-8]結合齒面承載接觸分析(loaded tooth contact analysis, LTCA)方法進行最優ease-off修形準雙曲面齒輪設計，其關鍵技術不詳。文獻[9-10]結合齒面接觸分析(tooth contact analysis,TCA)方法，給定傳動誤差和接觸區域大小設計弧齒錐齒輪ease-off曲面，再通過齒面離散，反求機床加工參數。文獻[11]建立螺旋錐齒輪副共軛差曲面修形量與相對曲率、共軛接觸線以及接觸跡線之間的聯系，設計ease-off曲面。文獻[12]構造弧齒錐齒輪ease-off差齒面的密切曲面，通過二階密切曲面拓撲、接觸區可控參數綜合確定小輪齒面的接觸參數，進而通過數值方法求解小輪的加工參數。目前，基于ease-off的復雜齒面修形方法主要是通過修正加工參數獲得ease-off修形曲面，再結合輕載下的TCA方法進行接觸區域匹配仿真驗證，其不能反映受載工況下齒輪副的嚙合性能，且無法實現自由ease-off修形齒面的設計。

拓撲修形在均化齒面載荷和改善齒輪綜合性能方面有顯著作用，基于ease-off螺旋錐齒輪拓撲修形齒面很復雜，傳統的基于搖臺型機床的齒面修正技術[13-16]可調加工參數有限，不能實現高精度拓撲修形齒面修正。文獻[17-18]研究了螺旋錐齒輪刀具刃形和刀具幾何參數對齒面誤差及接觸質量的影響，基于CNC機床運動和刀具刃形誤差敏感性的齒面高階修正技術[19]，可實現自由ease-off修形齒面的修正，但求解方法較為困難，必須給出合理的修正參數邊界，特別是旋轉軸展成運動系數邊界，否則將產生較大修正誤差。

為了進一步提高汽車驅動橋品質，筆者預設齒間間隙與齒面法向間隙，對HFT法小輪齒面進行自由ease-off曲面設計，小輪修形齒面表示為ease-off曲面與大輪的全共軛齒面疊加；結合LTCA方法，優化ALTE最小獲得最優ease-off曲面，并推導其相對小輪理論齒面的目標修形量。基于刀具和CNC機床各運動軸齒面誤差敏感性的修正模型，推導合理的參數邊界，進而通過優化方法確定了最優ease-off齒面的加工參數，該方法可直接對齒面進行任意自由修形設計與加工。

1 Ease-off修形齒面數學模型

點接觸齒面齒輪副傳動性能與重合度有很大關系，其受載荷后的實際重合度受嚙合位置多齒對輪齒初始接觸間隙的影響很大。輪齒初始間隙可以用齒輪幾何傳動誤差和接觸線法向間隙表達，齒輪幾何傳動誤差可轉化為齒面法向位移即齒間間隙，齒間間隙與接觸線法向間隙之和定義為初始間隙。修形齒面是對共軛齒面幾何的微觀修正，其表達式無法脫離共軛齒面，可以表達為共軛齒面與ease-off修形曲面的疊加，進而確定其準確的解析表達式。根據搖臺型機床的準雙曲面齒輪加工參數及切齒模型，可確定其理論齒面，該理論齒面為點接觸齒面，按照齒輪嚙合理論和齒輪副安裝關系，用大輪理論齒面按照名義傳動比與小輪嚙合，可獲得與大輪完全共軛的小輪齒面。齒間間隙與接觸線法向間隙各自反映著齒輪傳動性能的不同方面，因此，需要結合齒間間隙與齒面法向間隙產生的機理進行ease-off修形曲面設計。齒間間隙可通過圖1(a)所示的高階傳動誤差(參數為λ1，λ2及ε0～ε4)曲線表示，通過圖1(b)所示曲線(參數為d1,d2,q1,q2及θa)經旋轉變換映射后得到齒面法向間隙如圖1(c)所示?；趀ase-off的修形準雙曲面齒輪齒面數學模型詳見文獻[20]。

圖1 基于齒輪幾何傳動誤差與接觸線修形的ease-off修形曲面設計Fig.1 Design of ease-off flank modification surface based on transmission error and contact line

齒輪承載傳動誤差幅值(amplitude of loaded transmission error, ALTE)是工作過程中振動的直接激勵，是產生振動、噪聲的重要因素。結合TCA、LTCA優化齒面的最大載荷與ALTE最小，可確定齒間接觸間隙參數和齒面法向接觸間隙參數進而確定最優ease-off修形齒面。

2 準雙曲面齒輪數控切齒模型

圖2(a)～(b)為6軸CNC錐齒輪機床模型及坐標系，其中坐標系St,Sp分別固聯于刀具與工件。Sa，Se為固定坐標系且各坐標軸平行。輔助坐標系Sf與工件箱固連，其繞ye軸旋轉后偏離φb角度，并移動Cd距離。St相對Sa繞za軸旋轉角為φc；Sp相對Sf繞xf軸旋轉角為φa。Cd為工件節錐頂至固定坐標系原點Oe的距離，為機床常參數。刀盤與工件的相對運動被分解為X，Y，Z3個方向的直線運動和繞Ca，Cb，Cc軸的3個回轉運動，通過復合空間運動來完成實際展成運動。理論上CNC錐齒輪機床可以模擬任何帶刀傾和變性機構的傳統機床。采用端面銑齒刀盤和X，Y，Z，Ca及Cb5軸聯動可以展成格里森制齒面；采用端面滾齒刀盤和X，Y，Z，Ca，Cb及Cc6軸聯動可以展成奧利康制齒面。

圖2 準雙曲面齒輪機床模型及坐標系Fig.2 Coordinate systems and generator model for the six-axis CNC hypiod gear generator

從搖臺型機床向free-form型機床的運動等效轉換原則是保證刀具與工件的相對位置和姿態在任意時刻都相同。搖臺型機床坐標系如圖2(c)所示，刀盤動坐標系St繞輔助坐標系Sa的za軸的旋轉角為β；Sa相對輔助坐標系Sb的yb軸旋轉刀傾角度為i；Sb相對搖臺坐標系Sc的zc軸旋轉刀轉角度為j，并沿xc軸平移徑向刀位SR；Sc相對機床固定坐標系Sd的zd軸旋轉搖臺初始轉角為q。坐標系Se，Sf為確定被加工齒輪安裝位置的輔助坐標系，S1為工件動坐標系，γm為輪坯安裝角，Em為垂直輪位，ΔB為床位，ΔA為水平輪位，φ1為工件轉角。由于刀傾結構的存在，工件軸和刀具軸之間的最短距離矢量(大小和方向)是不斷變化的，而在CNC錐齒輪機床中兩者最短距離矢量的方向是不變的，并且始終平行于某一軸，如何保證刀盤和工件的相對位置和姿態相同的具體推導過程見文獻[21-22]，可以得到：

(1)

(2)

(3)

(4)

3 Ease-off齒面加工參數求解

在已知加工參數確定的理論齒面基礎上，修正銑刀盤切削刃曲線、刀盤半徑及CNC機床各軸高階運動參數，可實現復雜修形齒面的校正；然而，ease-off曲面是相對共軛齒面的法向修形量，因此，需要將其轉化為相對理論齒面的修形量。工件齒輪目標ease-off修形齒面位矢Rm表示為

Rm=R10+δmN10,

(5)

式中：δm為最優ease-off修形量，R10,N10為小輪共軛齒面位矢及法矢量。設小輪理論齒面的ease-off修形量為δg，則其位矢Rg表示為

Rg=R10+δgN10。

(6)

結合式(5)(6)可得最優ease-off拓撲修形齒面相對理論齒面的修形量δmg為

δmg=(Rm-Rg)·Ng=(δm-δg)(N10·Ng)。

(7)

式中：Ng為小輪理論齒面單位法矢。根據CNC螺旋錐齒輪機床的5個聯動軸的瞬時運動位置，可選參數φ1(或φc)為各軸之間的聯系參數，實際加工中φ1為時間的函數，進而可擬合出5個聯動軸的表達式。各運動軸的位置展成6階多項式為

(8)

根據微分幾何最優ease-off拓撲修形齒面相對理論齒面的法向修形量δmg表示為

(9)

簡化可用矩陣表示為

δmg=Sζ，

(10)

式中：ζ為附加運動參數系數ζj(即Cx，Cy，Cz，Ca、Cb多項式系數及刀具刃形和半徑修形參數共計46個)組成的列向量;S為齒面敏感矩陣，由網格節點i(i=1,2,…,p，p為齒面網格點個數取9×15=135)處的齒面誤差敏感系數組成的行向量Si構成。式(10)為一個超定線性方程組，由于S通常為病態矩陣，有時甚至奇異，求解得到的加工參數調整量可能會超出實際調整范圍；其次通過微分求解的理論齒面上的某網格點i的微分只能在微小的范圍變化，否則會導致計算誤差；通過分析驗證可知，對于旋轉軸其運動系數的變化是很有限的，因此求解被視為一個合理約束邊界下的優化問題：

(11)

給定某一個軸的任意一個運動參數擾動，通過比較式(10)引起的齒面誤差和該參數對應加工參數變化引起的齒面誤差的一致性確定邊界

(12)

4 算例與分析

以一對弧齒準雙曲面齒輪的工作面為例，大輪額定扭矩為 600 N·m；齒輪副幾何參數見表1，理論齒面加工參數見表2，CNC機床常參數Cd=0。優化的最優ease-off拓撲修形曲面參數見表3。

表1 準雙曲面齒輪副幾何參數Table 1 Geometric parameters of hypoid gears

表2 準雙曲面齒輪加工參數Table 2 Cutting parameters of hypoid gears

表3 最優ease-off拓撲修形曲面參數Table 3 Parameters of the best ease-off topological modification surface

圖3為CNC機床各運動軸齒面誤差敏感性仿真，圖中注釋例如“aij+0.1”表示：j軸的i階運動系數變化+0.1。1)0階參數變化引起齒厚修正(見圖3(a1),(b1),(c1),(d1),(e1))；2)1階參數變化引起齒面反向對角修正，即同時引起齒高方向的壓力角和齒寬方向的螺旋角修正(見圖3(a2),(b2),(c2),(d2),(e2))；3)2階參數變化引起齒面同向對角修正(見圖3(a3),(b3),(c3),(d3),(e3))；4)各軸系數隨階次增加，對齒面整體校正量減小即敏感性降低；5)對凹面的校正主要體現在小端齒頂處和大端齒根處；6)各軸校正敏感性為：工件安裝角軸(Cb)>工件旋轉軸(Ca)>刀具中心移動軸(Cx)=刀具中心移動(Cy)>工件移動軸(Cz)；7)刀具刃形、壓力角校正引起齒廓校正(見圖3(f1),(f2))，刀盤半徑變化引起齒厚校正(見圖3(f3))?？梢娐菪F齒輪CNC銑齒機各運動軸的附加運動主要引起齒厚誤差和對角誤差(齒向方向)校正，刀具刃形修形主要產生齒廓修形。

圖3 CNC機床各運動軸0階、1階及2階系數齒面誤差敏感性仿真Fig.3 Simulation of flank error sensitivity to 0, 1 and 2 order coefficients of kinematic axes for the CNC hypoid generator

圖4 TCA及承載傳動誤差幅值仿真Fig.4 Simulation of both TCA and ALTE on loads

齒面CNC修正仿真：1)最優ease-off齒面主要為齒廓修形和齒向修形，在大端齒頂、小端齒根處最大修形量分別為23，17 μm，其相對理論齒面的修形量(目標修形量)如圖5(a)所示，注意為增材料，在大端齒頂、小端齒根處最大修形量分別為-160，-68 μm。CNC修正后的曲面如圖5(b)所示，校正誤差主要為齒廓誤差，最大誤差為2 μm(≤1%,見圖5(c))；2)CNC各軸運動曲線接近線性，工件旋轉軸(Ca)和刀具中心移動軸(Cx)運動變化較大(見圖6(a))；3)工件安裝角軸Cb，Ca及刀具中心移動軸(Cx和Cy)有較大的附加運動。結合圖3可見Ca，Cb和Cx主要引起小端齒頂減材料修正，而Cy主要引起大端齒根減材料修正，其變化趨勢與目標修形量變化趨勢基本一致(見圖6(b))；表4為修形前后加工參數表達式，各階系數有微小變化；通過計算獲得的Ca軸運動系數邊界λ=±0.01，Cb軸運動系數邊界λ=±0.002。

表4 5軸CNC加工準雙曲面齒輪參數表達式Table 4 Parameter expression of kinematic positions based on the five-axis CNC hypoid gear generator

圖5 5軸聯動CNC修正ease-off拓撲修形準雙曲面齒輪仿真Fig.5 Simulation of ease-off flank correction based on a five linked axis CNC hypoid generator

圖6 5軸CNC機床加工準雙曲面齒輪運動曲線仿真 Fig.6 Simulation curves of kinematic axis based on the five-axis CNC hypoid gear generator

需要說明的是實際應用中，對于一般安裝精度的車輛主減速器齒輪，可以僅僅通過修正銑齒機各運動軸參數主要產生的齒向修形來改善安裝誤差敏感性，進而改善傳動性能。盡管齒向修形非常有利于降低安裝誤差的敏感性，但是也易導致齒面適配量較大，降低重合度；因此，對于高精度安裝的齒輪副，為了保證齒輪副有較大的重合度(正如漸開線圓柱齒輪)，齒面通常需要較小的齒向修形，主要是對齒頂和齒根進行齒廓修形來改善傳動性能，而齒頂或齒根修形主要是通過對刀具橫截面刃形的修正實現的，因此需選用這一刀具參數。刀具刃形的修正工藝較為復雜，且刀具成本較高，易產生磨損，而機床附加運動的修正更為柔性，因此，對于一般安裝精度齒輪主要考慮減小安裝誤差敏感性時，可不考慮刀具刃形的修形。對于高精度及高精度安裝的拓撲修形齒輪，除了考慮機床運動參數的修正，還需要考慮刀具刃形的修形。

5 結 語

1)預設齒間間隙與齒面法向間隙進行自由ease-off曲面設計，小輪ease-off修形齒面表示為ease-off曲面與大輪的全共軛齒面疊加；結合LTCA方法，優化ALTE最小，獲得最優ease-off曲面。

3)基于理論齒面加工參數，獲得齒面誤差敏感性系數矩陣的方法求解修形齒面加工參數時，需要確定合理的旋轉軸運動參數邊界。

4)螺旋錐齒輪CNC銑齒機各運動軸主要引起齒厚誤差和對角誤差校正，自由ease-off拓撲修形齒面的修正需要增加刀具刃形修正；該研究為高精度、高性能螺旋錐齒輪的齒面設計與加工提供理論方法。