形如“ax2+bxy+cy2”求最值問題的探究

江蘇省金湖中學 張 艷

一、問題的提出

最值問題一直是高考中的熱點問題，因變量多、結構復雜常導致處理難度大，但如果我們能抓住結構特征，善于歸納總結，將會事半功倍的。以下是筆者針對形如“ax2+bxy+cy2，求dx2+exy+fy2最值問題”的探究，供大家參考。

二、問題的思考

例1 已知正實數滿足則12x2+8xy-y2的最小值為__________.

分析：本題中有兩個變量，對于多元問題，通常考慮消元，但本題中，用x，y中的任何一個量來表示另一個量都不方便。而注意到已知式子和目標式的特點，先觀察條件能否因式分解后整體換元，或用所求的式子除以1，構造齊次分式，或靈活運用基本不等式。

分析：如上觀察條件能否因式分解后整體換元，或用所求的式子除以1，構造齊次分式，靈活運用基本不等式，配方后三角換元等。

分析：注意到所求的代數式為二次齊次式，所以可以應用“1”的代換將其變為齊次分式，同時觀察條件可因式分解，則也可以因式分解后整體換元。

三、問題的歸納

形如最值問題”的常用方法有：

1.注意到已知式子和目標式的次數特點，則都可以構造齊次分式來處理。

2.如果條件易于因式分解，則因式分解后整體換元，從而起到化簡題目的作用。

3.理清兩個變量之間的關系，靈活運用基本不等式。

4.配方后三角換元。

當然，此類題目綜合性比較強，需要我們不斷總結，更多時候要具體問題具體分析。