HPM視角下“無窮級數(shù)概念引入”的教學(xué)

◇上海立信會計金融學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 李 玲

上海海洋大學(xué)工程學(xué)院 成國慶

無窮級數(shù)是微積分中的一個重要概念，它體現(xiàn)了無限與有限的辨證統(tǒng)一，在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。本文主要從數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（History & Pedagogy of Mathematics，HPM）的視角，以發(fā)生教學(xué)法為基礎(chǔ)，設(shè)計了“無窮級數(shù)概念引入”的教學(xué)，整個過程環(huán)環(huán)相扣，不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲望。實踐表明，HPM視角下的無窮級數(shù)教學(xué)有助于學(xué)生對其概念的理解和斂散性判別方法的掌握。

無窮級數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》的一個重要組成部分，它可以用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計算。無窮級數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，它的一個重要應(yīng)用—近似求值，正是貫穿于整個高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的極限思想方法的充分體現(xiàn)。然而，在“重應(yīng)用”的背后卻隱藏著“輕概念”的憂患。級數(shù)概念涉及極限思想，“無窮”、“極限”這些曾經(jīng)讓古希臘人懼怕的概念，在當(dāng)今的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也很容易被教師忽視。然而，“無窮級數(shù)”的概念在微積分中的作用不容忽視，它體現(xiàn)了無限與有限的辨證統(tǒng)一，有助于學(xué)生理解極限思想，為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)微積分打下良好的基礎(chǔ)。

基于此，筆者研究了如何將數(shù)學(xué)史[1]融入到級數(shù)概念的教學(xué)中，并主要圍繞以下3個研究問題展開：①在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)史，是否有助于學(xué)生更好地理解級數(shù)中的極限思想？②學(xué)生是否樂于接受這種融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)方式？③在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)史與直接使用數(shù)學(xué)史的主要區(qū)別是什么？

1 歷史與認(rèn)知

1.1 無窮級數(shù)概念的歷史分析

無窮級數(shù)曾在希臘數(shù)學(xué)里出現(xiàn)過，盡管希臘人很懼怕無窮，并且試圖用有限和來代替無窮和，但這些只是潛無窮與實無窮的差別。芝諾[2]（Zeno of Elea，約公元前490～約公元前425）的二分法涉及把1分解成這樣一個無窮級數(shù)：亞里士多德（Aristotle）也認(rèn)為這種公比小于1的等比級數(shù)有和。阿基米德[3]（Archimedes，公元前287一公元前212）在其《拋物線圖形求積法》一書中，使用了等比級數(shù)求拋物線弓形面積，并給出了它的和。中國古代《莊子·天下》一書中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”也含有極限的思想，其用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來也是無窮級數(shù)。

在中世紀(jì)，無窮級數(shù)一度使那時的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家著迷，一方面引起了他們對“無窮”的興趣，另一方面又使他們圍繞一些明顯的悖論展開激烈的爭論。例如，休塞特[4]（Richard Suiseth或Swineshead）曾解決了這樣一個問題，它可以借助于運(yùn)動這樣描述：

若一質(zhì)點在某段時間的前一半以不變的初始速度開始運(yùn)動，在接下來的四分之一時間中以二倍的初始速度運(yùn)動，而在隨后的八分之一時間中以三倍的初始速度運(yùn)動，……，就這樣無限繼續(xù)下去，則這個質(zhì)點在整個這段時間的平均速度等于其初始速度的二倍。如果把這段時間的長度和初始速度都取作一個單位，則該問題等價于這樣一個級數(shù)求和

奧雷姆[5]是這方面最杰出的代表人物。他有著許多天才的思想，尤其是“無窮”的思想。他明確了等比級數(shù)有兩種可能性，當(dāng)其公比大于或等于1時，無窮等比級數(shù)有無窮和；而當(dāng)公比小于1時有有限和。在《歐幾里德幾何問題》（1350）一書中，他用嚴(yán)格的方式證明了當(dāng)無窮級數(shù)項的值不是按比例減少時，其和也能是無窮，并在書中用調(diào)和級數(shù)作為例子進(jìn)行了探討。

此后，無窮級數(shù)的研究在十五、十六世紀(jì)繼續(xù)以休塞特和奧雷姆的方式前行，但由于其方式僅限于文字?jǐn)⑹龊蛶缀畏椒ǎ虼藳]有取得重大的進(jìn)步。無窮級數(shù)早期研究工作的主要貢獻(xiàn)不在于所得到的具體結(jié)果，而在于它能促使人們接受一種新的觀點，那就是在數(shù)學(xué)中可以自由承認(rèn)無限過程。因此，中世紀(jì)更有力的算術(shù)和代數(shù)方法為十七世紀(jì)關(guān)于無窮級數(shù)以及無限過程的重要工作開辟了新的道路。

1.2 學(xué)生的認(rèn)知起點

為了把握學(xué)生的認(rèn)知水平，了解大一學(xué)生對于無窮多個數(shù)相加的概念的了解程度，我們對學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的部分學(xué)生作了此概念的問卷調(diào)查，問卷中主要涉及以下幾個問題：

問題二：根據(jù)問題一中計算的結(jié)果，請回答無窮多個數(shù)相加是否一定會得到一個數(shù)，即無窮多個數(shù)相加是否存在和；如果有和，這個和是否一定唯一？

對于問題一，參與調(diào)查的326名學(xué)生給出了以下幾種不同的答案，為了更清晰地看出這一調(diào)查結(jié)果現(xiàn)將其列入表1。

表1 問題一的調(diào)查結(jié)果

對于問題二，有184名學(xué)生認(rèn)為答案是肯定的，這一數(shù)字超過了參與調(diào)查人數(shù)的一半；而且由于問題一的計算結(jié)果，導(dǎo)致認(rèn)為有和的大部分學(xué)生都覺得這個和不一定是唯一的。在參與調(diào)查的326人中，只有10人給出了該問題的正確答案。

由以上結(jié)果可以看出，學(xué)生對于無窮多個數(shù)相加是否存在和這一問題概念模糊。在問題一的解答過程中，大部分學(xué)生犯了這樣幾個錯誤：

（1）將有限個數(shù)相加滿足的結(jié)合律（相加過程中任意添加括號）直接照搬到無限個數(shù)相加，這就導(dǎo)致了計算結(jié)果0和1的產(chǎn)生；

（2）將有限個數(shù)相加一定存在和這一結(jié)論直接照搬到無限個數(shù)相加，第三種計算過程中，實際已經(jīng)承認(rèn)為一個數(shù)，進(jìn)而把它設(shè)為x，然后列方程進(jìn)行求解。

以上兩種錯誤都體現(xiàn)了學(xué)生對于從有限個數(shù)相加到無限個數(shù)相加這一過渡的認(rèn)知存在誤差，這一認(rèn)知誤差也為我們更好地設(shè)計教學(xué)過程提供了理論基礎(chǔ)。

1.3 教學(xué)設(shè)計意圖

（1）以歷史上著名的芝諾悖論作為此次教學(xué)的序幕，可將學(xué)生帶入一個熟悉而又陌生的領(lǐng)域，讓學(xué)生對于即將講解的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生興趣。

（2）在學(xué)生充滿求知欲的氛圍中恰到好處地給出無窮級數(shù)的概念，讓學(xué)生的一部分好奇心得到滿足，并由此產(chǎn)生新的疑問：無窮級數(shù)何時存在和？

（3）無窮級數(shù)斂散性的判別方法呼之欲出，學(xué)生終于明白無限多個數(shù)相加不一定有和，因此對相關(guān)概念以及判別方法理解得更加透徹。

（4）趁熱打鐵，利用幾個典型的例題讓學(xué)生鞏固無窮級數(shù)的概念和斂散性的判別方法，并由此解釋之前產(chǎn)生的疑問，真正做到舉一反三。

（5）當(dāng)學(xué)生感到一切問題都迎刃而解時，提出新的思考，使學(xué)生再次產(chǎn)生求知的熱情，對后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容充滿期待。

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 一個有意思的悖論

（1）向?qū)W生講述一個歷史上著名的芝諾悖論（Zeno's paradox）。

阿基里斯是古希臘神話中一位善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔校乃俣仁菫觚數(shù)氖叮瑸觚斣谄淝懊?00米跑，他在后面追，但他卻不可能追上烏龜。因為在競賽過程中，追者必須首先到達(dá)被追者的出發(fā)點，當(dāng)阿基里斯追到100米時，烏龜又向前爬了10米，這樣，一個新的起點就產(chǎn)生了；于是阿基里斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追上這10米時，烏龜又向前爬了1米，阿基里斯只能再追那個1米。一直這樣下去，烏龜就會制造出無窮個起點，并且它總能在新的起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多么小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜。

如圖所示，開始時阿基里斯位于A點，烏龜位于B點，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m。當(dāng)阿基里斯到達(dá)B點時，烏龜又向前爬行了10m，到達(dá)C點；當(dāng)阿基里斯到達(dá)C點時，烏龜又向前爬行了1m，到達(dá)D點……

圖1 阿基里斯追烏龜?shù)膱D示

（2）向?qū)W生提問并與學(xué)生進(jìn)行互動。

問題：你認(rèn)為阿基里斯最終能不能追上烏龜？為什么？

問題提出后，學(xué)生們都表現(xiàn)得很活躍，覺得這是一個顯而易見問題，都認(rèn)為阿基里斯最終能追上烏龜，但問其原因時，答案卻不是那么顯而易見了：

學(xué)生一的回答：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者一定會追上慢跑者，這是常識；

老師的反問：我認(rèn)為快跑者永遠(yuǎn)趕不上慢跑者：因為追趕者必須首先跑到被追者的出發(fā)點，而當(dāng)他到達(dá)被追者的出發(fā)點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)點在等著它，有無限個這樣的出發(fā)點。

學(xué)生二的回答：阿基里斯一定能追上烏龜，因為我可以算出他追烏龜所用的時間，這就是我們小學(xué)做過的追及問題：設(shè)他追上烏龜用的時間為x，則可列方程：

老師的反問：你在假設(shè)他追上烏龜用的時間為x時，已經(jīng)認(rèn)為他追上了烏龜，因為只有當(dāng)x是一個有限數(shù)（追及時間有限，即表示能追上）時，列的方程才有意義，才能進(jìn)行求解。而現(xiàn)在的問題是，為什么他追及的時間是個有限值？

經(jīng)過兩輪的互動，學(xué)生們對這個看似簡單又充滿迷惑的問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，阿基里斯到底能否追上烏龜呢？

2.2 無窮級數(shù)概念的引入

在這個悖論中，最關(guān)鍵的就是阿基里斯追烏龜所用的時間，而這個時間可以表示為：

這是無限多個數(shù)相加，如果相加得一個有限數(shù)（存在和），則他追烏龜所用的時間是有限的，表示他能追上烏龜；反之，如果相加不是一個有限數(shù)（不存在和），則表示他不能追上烏龜。

這時，學(xué)生對于無窮多個數(shù)相加以及是否存在和產(chǎn)生了想繼續(xù)了解的動機(jī)，此時可以給出無窮級數(shù)的概念。給出無窮級數(shù)的準(zhǔn)確定義之后，學(xué)生明白了就是一個無窮級數(shù)，但這個無窮級數(shù)有沒有和呢？

2.3 無窮級數(shù)的斂散性

有了無窮級數(shù)的定義，學(xué)生們現(xiàn)在關(guān)心是它何時存在和（收斂）。此時可以給出無窮級數(shù)斂散性的概念以及判別斂散性的方法。緊接著用兩個例題來鞏固此判別方法。

2.5 后續(xù)的思考

學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)對于這個形式簡單的級數(shù)，要用常規(guī)的方法（部分和數(shù)列的斂散性）來判別斂散性并不是那么容易，在下節(jié)課可以給學(xué)生介紹一種更巧妙的方法判斷其斂散性。

3 學(xué)生反饋

此次教學(xué)后，我們對所教六個班中的18名學(xué)生進(jìn)行了訪談，其中涉及的問題有：①通過這次教學(xué)，你能更好地理解無窮級數(shù)的概念嗎？②你能說出幾個常見的無窮級數(shù)嗎？③你知道如何判別無窮級數(shù)的斂散性嗎？④你覺得這節(jié)課有趣嗎？

在整章教學(xué)完成后，我們又對這六個班級326人進(jìn)行了關(guān)于這次教學(xué)的問卷調(diào)查，其中涉及的問題有：①此次教學(xué)對于你理解無窮級數(shù)的概念作用大嗎？②此次教學(xué)對于你整章內(nèi)容的學(xué)習(xí)作用大嗎？③你能否接受這種將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方法？④你是否希望在今后的教學(xué)過程中，老師經(jīng)常使用這種方法？

3.1 訪談結(jié)果

接受訪談的學(xué)生一致認(rèn)為此次教學(xué)很有趣、很生動，已經(jīng)能很好地理解無窮級數(shù)的概念，并且知道了無限個數(shù)相加與有限個數(shù)相加的本質(zhì)區(qū)別：無限個數(shù)相加不一定有和。另外，大部分受訪學(xué)生都能說出幾個常見的級數(shù)，如等比級數(shù)，調(diào)和級數(shù)等。他們普遍認(rèn)為這節(jié)課的精彩之處在于阿基里斯追烏龜這個悖論的出現(xiàn)，讓他們至始至終對無窮級數(shù)的概念及其斂散性充滿了好奇和求知的欲望，因此對整個教學(xué)過程印象深刻。

3.2 問卷調(diào)查結(jié)果

表2給出了學(xué)生對于以上幾個問題的回答情況。

表2 學(xué)生對此次教學(xué)的反饋結(jié)果

從表2可以看出，學(xué)生對于此次的教學(xué)結(jié)果是比較滿意的，基本認(rèn)為此次教學(xué)對后續(xù)學(xué)習(xí)的幫助很大，而且大部分樂于接受這種將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的新方法，希望老師在今后的教學(xué)中經(jīng)常使用該方法。由此可見，此次教學(xué)是成功的。

4 總結(jié)與反思

此次“無窮級數(shù)概念引入”的教學(xué)是運(yùn)用發(fā)生方法，在HPM視角下實施的一次教學(xué)活動。教學(xué)后所實施的學(xué)生訪談與問卷調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生更好地理解無窮級數(shù)的概念以及其斂散性的判別。數(shù)學(xué)史中生動而有趣的故事激發(fā)了學(xué)生對于相關(guān)概念的濃厚興趣，進(jìn)而產(chǎn)生求知的強(qiáng)烈欲望，使得整個教與學(xué)的過程環(huán)環(huán)相扣。